高三数学直线与圆的位置关系（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：直线与圆的位置关系二.重点、难点：1.圆周角定理2.圆心角定理及推论3.圆内接四边形性质4.四点共圆的判定5.圆的切线的性质6.圆的切线的判定7.弦切角定理8.相交弦定理9.割线定理10.切线长定理11.切割线定理12.平面截圆柱13.平面截圆锥【典型例题】[例1]已知：如图AB是直径，C是AE的中点，CD⊥AB于D交AE于F，求证：CF=AF。证明：连结AC，CB C是AE的中点∴∠B=∠CAE AB是直径∴∠ACB=90° CD⊥AB∴∠ACD=∠B∴∠ACD=∠CAF∴CF=AF[例2]已知：△ABC内接于⊙O，弦AB的垂直平分线和CA及BC的延长线分别交于点D及E，交⊙O于F两点，求证：ED·DO=AD·DC。证明：延长AO交⊙O于M点，连结CM AM是⊙O的直径∴∠ACM=90°又EH⊥AB用心爱心专心∴∠EHB=90° ∠AMC=∠ABC∴∠CAM=∠E又∠ADO=∠CDE∴△ADO∽△CDE∴∴ED·DO=AD·DC[例3]四边形ABCD内接于⊙O，对角线是直径，AC与BD相交于点E，BO⊥AD于H，AD=OA=2。求：（1）∠ABD和∠BEC的度数；（2）OE：EC；（3）四边形ABCD的面积。证明：（1） BO⊥AC∴AH=HD∴AD=OA=2∴AH=1∴∠OAH=60° AC是⊙O直径∴∠ADC=90°∴∠ACD=90°－∠OAH=90°－60°=30° ∠ABD=∠ACD∴∠ABD=30° BH是AD的垂直平分线∴BA=BD∴∠BDA=∠BAD=在Rt△ADE中，AED=180°－（EAD+EDA）=180°－（60°+75°）=45°∴BEC=AED=45°（2）在Rt△ADC中，DC= AD⊥DC，AH⊥BH∴BH//DC∴∴OE：EC=1：（3）在中，AH=HDAO=OC∴作BF⊥DC交DC的延长线于F，则四边形DHBF是矩形用心爱心专心∴BF=HD=1∴∴[例4]已知弦CD垂直于圆O的直径AB，L为垂足，弦AE平分半径OC于H，求证：弦DE平分弦BC于M。证明：连结BD，由∴∠BAE=∠BDE由直径AB⊥CD知BC=BD∠DBC=2∠CBA又∠AOC=2∠ABC故∠AOH=∠DBM∴△AOH∽△DBM，而∴即DE平分BC[例5]如图，⊙O是直角三角形的直角边AB为直径的圆，ED与⊙O切于D，求证：。证明：连结OD、BD EB、ED都是⊙O的切线∴EB=ED又EO=EO∠EBO=∠EDO=90°∴△EBO≌△EDO∴∠1=∠2 ∠A=∠DOB=∠1，AO=OB∴EOCA OB=OD，∠1=∠2∴BD⊥OE∴BD⊥CA又AB⊥BC∴△ABC∽△BDC用心爱心专心∴即[例6]如图所示，已知：P为正△ABC外接圆上一点，连结PB，PC和PA，D是PA和BC的交点。求证：。证明：在△PBD和△CAD中， ∠PBD=∠CAD∠PDB=∠CDA∴△PBD∽△CAD∴同理可证∴∴AB=AC=BC，BC=BD+DC∴∴[例7]如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D，求证：AC平分∠BAD。证明：连结BC AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠CAB=90° AD⊥CE∴∠ADC=90°∴∠ACD+∠DAC=90°用心爱心专心 AC是弦，且CE和⊙O切于点C∴∠ACD=∠B∴∠DAC=∠CAB∴AC平分∠BAD[例8]已知：如图所示，在△ABC中，∠A=15°，∠ACB=90°，BC=1，O为AC上一点，以O为圆心，OC为半径的半圆交AB于E、F两点，且E为AB的中点，D为半圆与AC的另一交点。（1）求CF的长；（2）求BF的长；（3）求证：AD是方程的一个根。解：（1）连结CE E是的斜边AB的中点∴CE=AE∴∠ECA=∠A=15°∴∠FEC=30°由题意可知，BC垂直于⊙O的半径OC∴BC与⊙O相切于点C∴∠BCF=∠FEC=30° ∠B=90°－∠A=75°∴∠BFC=180°－（∠B+∠BCF）=180°－（75°+30°）=75°∴∠B=∠BFC∴CF=BC=1（2）连结OE、OF OC=OF∠COF=2∠FEC=60°∴△COF是正△∴OC=OF=CF=1 ∠ECF=90°－（∠BCF+∠ECA）=90°－（30°+15°）=45°∴∠EOF=2∠ECF=2×45°=90°∴△EOF是等腰直角三角形∴EF=由切割线定理得∴即解得，（舍）（3） ∴ AF=AE+EF=∴根据切割线定理用心爱心专心即∴∴AD是方程的一个根[例9]如图所示，⊙O分别切AB、AC于E、F，且交BC于M，N两点，∠A=90°，∠B=∠C，EB=1，△ABC的面积为S1，⊙O的面积为S2，。（1）求证：BM=NC；（2）求BM。证明：（1）连结AO交BC于D AB、AC都是⊙O的切线∴∠DAB=∠OAC ∠B=∠C∴AB=AC∴AO是BC的垂直平分线∴BD=DC OD⊥MN∴MD=DN∴BM=NC（2）连结OE、OF，则四边形AEOF是四边形，设AE=x，则AB=x+1S1=S2=或（舍去）∴AE=4AB=5BC=设BM=y，由切割线定理得即解得或（舍去）∴[例10]如图AB是⊙O的直径，点E是半圆...
