高三数学直线与圆VIP专享VIP免费

直线与圆知识网络：目标认知考试大纲要求：1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.4.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.重点：1.求圆的方程，2.解决有关圆与直线的位置关系的问题。难点：1.根据不同的几何条件，求圆的方程；2.利用圆的方程，求解有关的最值及动点轨迹。知识要点梳理:知识点一：圆的方程1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．2.圆的标准方程：圆心为，半径为的圆的标准方程为注意：方程中有三个参量、、，因此三个独立条件圆心、半径可以确定一个圆。3.圆的一般方程：（）注意：（1）二次方程（*），配方得当时，方程（*）表示半径，圆心的圆；当时，方程（*）表示点；当时，方程（*）不表示任何图形。（2）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：、项系数相等且不为零没有项；（3）根据条件列出关于、、的三元一次方程组，可确定圆的一般方程。知识点二：点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系1．点与圆的位置关系：（1）点P在圆C外；（2）点P在圆C上；（3）点P在圆C内。2．设直线，圆，圆心到直线的距离记为，则:（1）直线与圆相切；（2）直线与圆相交；（3）直线与圆相离。注意：直线与圆C相交时，一般都会用到垂径定理，在直角三角形中求解。3．圆与圆的位置关系：两圆圆心距。（1）与外离；（2）与外切；（3）与相交；（4）与内切；（5）与内含。规律方法指导1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（、、或、、）的值需要确定，因此需要三个独立的条件。利用待定系数法得到关于、、（或、、）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值。2.求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于、、或、、的方程组；（3）解方程组，求出、、或、、的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程。3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质（如垂径定理、切线长定理等）帮助解题。经典例题精析类型一：求圆的方程1．(1)求经过点、,且圆心在直线上的圆的方程；(2)求以、、为顶点的三角形的外接圆的方程思路点拨:选用恰当的方程形式用待定系数法求出，或数形结合，利用圆的垂径定理：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形解决。解析：(1)方法一：待定系数法设圆心,则有,解得，∴圆心，半径,∴所求圆的方程为。方法二：数形结合由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上即直线上由得，∴圆心，半径∴所求圆的方程为。(2)方法一：待定系数法设圆的方程为,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：，解方程组得：,,，故圆的方程为，即方法二：数形结合由图形知：三角形是以为斜边的直角三角形，故圆心为的中点，直径，故圆的方程为：。总结升华：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得、、或、、；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数举一反三：【变式1】圆与轴相切，圆心在直线上，且直线截圆所得弦长为，求此圆的方程。【答案】：设圆方程为： 且圆心在直线上，∴ 圆与轴相切，∴故圆方程为，又因为直线截圆得弦长为，则有，解得故所求圆方程为：或。【变式2】求经过点、且在轴上截得的弦长为6的圆的方程。【答案】：方法一：设圆心，半径长，由垂径定理可以得到圆与轴两交点为、,由、得且MN的中点坐标，则的垂直平分线方程为，PQ的垂直平分线方程为。解方程组：得圆心.由得=，解出,.当时，圆心,,圆的方程为：当时，圆心,，圆的方程为故所求圆的方程为：或.方法二：设所求圆为.令得,在x轴上截得弦长为：.将、代入圆方程可得方程组：，解出或所求圆方程为或.【变式3】求过直线和圆的交点,且面积最小的圆的方程。【答案】：解法一：因为通过两个交点的动圆中，面积...