高三数学理科多面体与球例题解析一.本周教学内容：多面体与球二.本周教学重、难点：1.了解多面体，凸多面体，正多面体的概念。2.了解球的概念，掌握球的性质，表面积，体积公式。【典型例题】[例1]如图，地球半径为R，地面上三点A、B、C的经纬度分别是：A点是东经，北纬；B点是东经，北纬；C点是东经，北纬，试求A、B与B、C两点的球面距离。解： A、B纬度均为∴A、B在同一纬线上设此纬线圈中心为O1由已知有，且∴在中，=在中，∴∴A、B两点的球面距离等于 B、C两点在同一经线上，纬度差为，即∴BC两点的球面距离等于[例2]已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为。（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积。解：如图（1）设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS∴O为的外心，即的外接圆半径就是球的半径 AB=BC=∴ SA=SC=AC=∴为正三角形由正弦定理得用心爱心专心115号编辑1因此（2）设内切球的半径为r作SE⊥底面于E，作SF⊥BC于F，连结EF则有又∴∴∴[例3]半径为1的球面上有A、B、C三点，其中A和B的球面距离，A和C的球面距离都是，B和C的球面距离是，求球心O到平面ABC的距离。解： 球O的半径为1∴A和B的球面距离∴又OA=OB=1∴同理，，，，BC=1由，得OA⊥平面OBC设所求距离为，则由，知由此解得[例4]棱长是的正方体AC1内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切。求证：两个球半径之和为常数。用心爱心专心115号编辑2解：如图所示，根据正方体、球均为中心对称图形可知，两球球心O1、O2均在正方体的体对角线AC1上，并且一球与上底面对角线相切，另一球与下底面对角线相切，以此作出其对角面图设O1、O2半径分别为、，过O1、O2分别作，则为 ∴即∴（常数）[例5]如图，球心O到截面BCD所在圆心O1的距离为球的半径的一半，BC是截面圆的直径，D为圆周上一点，CA是球O的直径。（1）求证：平面ABD⊥平面BDC；（2）如果球的半径为R，D分为两部分，求AC与BD所成角。解：（1）设球心为O，小圆BCD的圆心为O1由题知 AC是球的直径∴AB⊥BC又 AB//OO1∴AB⊥面BCD而AB面ABD∴面ABD⊥面BDC（2）由D分为两部分，知延长DO1交圆O1于H，则CH//BD，故为AC与BD所成的角，易证CH⊥平面ABH，故CH⊥AH∴AC与BD所成的角为[例6]在一个轴截面是正三角形（顶角开口向上）的圆锥形容器中注入高为h的水，然后将一个铁球放入这个圆锥形容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径。用心爱心专心115号编辑3解：如图，作出圆锥容器的轴截面，为等边三角形 SG=，DG∴设铁球的半径为R，则SO=2R，SF=3R在中，依题意有，即∴答：所求铁球半径等于[例7]如图所示，四棱锥A—BCDE中，AD⊥底面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE。（1）求证：ABCDE五点都在以AB为直径的同一球面上；（2）若，，AD=1，求B、D两点间的球面距离。解：（1） AD⊥底面BCDE∴AD⊥BC，AD⊥BE又 AC⊥BC，AE⊥BE∴BC⊥CD，BE⊥ED∴B、C、D、E四点共圆，即BD为圆的直径取AB的中点M，BD的中点N，连结MN，则MN//AD∴MN⊥底面BCDE，即M的射影是圆的圆心N∴AM=BM=CM=DM=EM五点共球体，且直径为AB（2）若，则底面四边形BCDE是一个矩形，连结DM ∴∴BM=1，∴B、D两点间的球面距离是一.选择题：1.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（）A.B.C.2D.2.如图，A、B、C是表面积为的球面上三点，AB=2，BC=4，，O为球心，则直用心爱心专心115号编辑4线OA与截面ABC所成的角是（）A.B.C.D.3.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD与BC的夹角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°4.已知体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A.B.C.D.5.如图，一个由三根细铁杆PA、PB、PC组成的支架，三根杆的两两夹角都是60°，一个半径为1的球放在支架上，则球心到点P的距离是（）A.B.C.2D.6.已知球的表面积为，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，，则球心到平面ABC的距离为（）A.1B.C.D.27.地球半径为R，在北纬30°圈上有两点A、B，A点的经度为东经120°，B点的经度为西经，则A、B两点的球面距离为（）A.B.C...
