高三数学理科双曲线典型例题本周教学重、难点：掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质，能够根据双曲线性质画双曲线简图，了解双曲线在实际问题中的初步应用。【典型例题】[例1]根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线有公共焦点，且过点；（2）与双曲线有共同渐近线，且过点解：（1）方法一：设双曲线方程为由题意易求又双曲线过点∴又 ∴故所求双曲线方程为方法二：设双曲线方程为将点代入得∴双曲线方程为（2）方法一：设双曲线方程为由题意得解之，得故双曲线方程为方法二：设所求双曲线方程为，将点代入得所以双曲线方程为即用心爱心专心122号编辑1[例2]已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点。（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：；（3）求的面积。解析：（1） ∴可设双曲线方程为 双曲线过点∴，即∴双曲线方程为（2）证法一：由（1）可知，双曲线中∴∴，∴， 点M（3，m）在双曲线上∴，故∴∴证法二： ，∴ M点在双曲线上∴，即∴，即（3）的底，的高∴[例3]双曲线C：的两条准线间距离为3，右焦点到直线的距离为，（1）求双曲线C的方程；（2）双曲线C中是否存在以为中点的弦？解：（1）根据题意有用心爱心专心122号编辑2解之，得，，所以双曲线C的方程为（2）假设存在以为中点的弦AB，且设则（*）方法一：设AB所在直线方程为，即①将①代入双曲线C：，整理得②∴③④由（*）及④得，整理得将代入③有即当时，方程②无解，从而不存在以为中点的弦方法二：将代入双曲线C：有⑤－⑥，得即又由（*）知即过AB的弦所在直线的斜率用心爱心专心122号编辑3从而AB所在的直线方程为，即代入双曲线C的方程，化简得，此时即时，所求直线与双曲线实际上没有交点故不存在以为中点的弦[例4]在双曲线的同一支上的不同三点，，与焦点F（0，5）的距离成等差数列。（1）求；（2）证明线段AC的垂直平分线经过定点，并求出定点的坐标。解析：（1） 点A在双曲线上支上，由双曲线第二定义，∴同理，，由题意，得∴（2）证明：设AC的中点为，AC的中垂线为，其斜率为，则的方程为由题意可得<2>－<1>整理，得把<3><4><5>代入上式，得∴代入直线方程，得用心爱心专心122号编辑4即故直线过定点[例5]设双曲线C：与直线相交于两个不同的点A、B。（1）求双曲线C的离心率的取值范围；（2）设直线与轴的交点为P，且，求的值。解：（1）由C与相交于两个不同的点故知方程组有两个不同的实数解，消去并整理得①所以解之，得且双曲线的离心率因为且，所以且即离心率的取值范围为（2）设因为，所以由此得由于都是方程①的根，且所以消去，得由，所以[例6]已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为。用心爱心专心122号编辑5（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求的取值范围。解析：（1）设双曲线方程为由已知得，，再由得，故双曲线C的方程为（2）将代入得由直线与双曲线交于不同的两点得即且①设，则，由得，而于是，即解此不等式得②由①②得故的取值范围为[例7]已知常数，向量，，经过定点，以为方向向量的直线与经过定点，以为方向向量的直线相交于点P，其中。（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若，过E（0，1）的直线交曲线C于M、N两点，求的取值范围。解析：（1）设P点的坐标为，则，又，用心爱心专心122号编辑6故，由题知向量与向量平行，故又向量与向量平行，故两方程联立消去参数得点的轨迹方程是即（2） ，故点P的轨迹方程为此时点E（0，1）为双曲线的焦点。①若直线的斜率不存在，其方程为，与双曲线交于此时②若直线的斜率存在，设其方程为代入化简得 直线与双曲线交于两点∴且，解得设两交点为则，此时当时，故；当或时，故综上所述，的取值范围是一.选择题1.过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程是（）A.B.用心爱心专心122号编辑7C.D.2.已知定点A、B，且|AB|=4，动点P满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是（）A.B.C.D.53.设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（）A.B.C.D.4.设A为双曲线右支上一动点，F为该双曲线...
