★数学篇★数理化解题研究2000年第7期凌意发挥圆锥曲线统一定义在解题中的T隹用陕西南郑江南压铸总厂子校(723100)郝世富☆我们知道，椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．它们表示到定点F(焦点)的距离与到定直线f(准线)的距离的比是一个常数离心率)的动点的轨迹．当0l时，动点的轨迹是双曲线；当e=l时，动点的轨迹是抛物线．这样的统一定义有利于学生全面理解它们的共性和区别；而且在我们把准线方程，离心率公式，焦点坐标联系起来考查曲线性质时，会给某些问题的解决带来方便．例1点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线)c=8的距离的比是l：2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解．．’e=c／a=1／2，故点P的轨迹是一椭圆．k2焦点F到准线)c=8的距离为=8—2=6，又一bC=，将以上三式联立求得a=4，b=2、／3，c=2．又，l21‘椭圆中心坐标为8一=8一=0，从而点P的C轨迹方程是曰l6+y2／12=1．例2求与定点A(5，0)及定直线h)c=16／5的距离比是5：4的点的轨迹方程．解’．‘e=c／a=5／4，．’．动点的轨迹是双曲线．参考上例解法，得所求的点的轨迹方程是研16-y=1．例3点M与定点F(4，0)的距离比它到直线)c+5=0的距离小l，求点M的轨迹方程，并且画出图形．解由题设易知点M到直线)c=一4的距离与它到点F(4，o)的距离相等，即e=1，点M的轨迹是抛物线．因为P=8，焦点F(4，0)在)c轴上，顶点在原点，所以点M的轨迹方程是y2=16x．(图形略)从以上三例的解法可以看出，用统一定义比设动点的坐标列出方程化简求解，要简捷得多．还有些问题涉及圆锥曲线上的点与该曲线焦点的连线(即焦半径)，运用圆锥曲线统一定义来解，也是很方便的．例4证明：若椭圆研a+y2／b=l上三点的横坐标成等差数列，则其对应的焦半径也成等差数列．6证明设，y。)(其中l、2、3)是椭圆上不同的三点，其对应的焦半径为，所给椭圆的准线方程是)c=4-a2／c=4-ale，知ri／(a／e4-)=e，即rj=a4-exi．设三点的横坐标为x，)c+d，)c+2d，d是公差，则r1=a4-ex；r'=a4-)c+d)=a4-ex4-ed；=a4-e(x+2d)=a4-ex~2ed．可见，r1，，2，是以4-ed为公差的等差数列．’另外，对于某些与圆锥曲线统一定义相关的问题，利用统一定义进行求解也是比较方便的．例5求经过定点M(1，2)，以y轴为准线，离心率为1／2的椭圆左顶点的轨迹方程．解椭圆过点M(1，2)，以y轴为准线，则椭圆在y轴的右侧，长轴平行于)c轴．设椭圆左顶点为()c，y)，F为左焦点，作MⅣ-L)，轴于Ⅳ，延长FA交Y轴于K，则AK-Ly轴．由统一定义，得IMFI／IMN=IAFI／IAKI=e=1／2，由定比分点坐标公式可求得F(3)c／2，．从而由IMFI=IMUll2=1／2，得(3x／2一1)+一2)!=1／4．故所求的轨迹方程为9(x一2／3)2+4一2)2=1．例6已知椭圆的一个焦点和其相应准线分别是F(一l，0)和)c=一1／2，直线f：y=kx+3截椭圆于、B两点且)c轴平分线段AB．(1)当k=l时，求椭圆的方程；(2)求实数k的取值范围．解设椭圆的离心率为e，e(X，y)是椭圆上任意一点，、B两点的坐标分别为(，Y)，(x2，y9．则由统一定义，得√()c+1)+I)c+1／2I=e，化简并整理后，得4(1一+4(2一)c+4y~+4一=0①．将y=kx+3代人方程①，并化简整理后，得4(1一+2)+4(2一+6k+40一=0．由韦达定理，得x1+)c’=(一2—6)／(1一+，又v+Y2=()c1++6=kC一2—6k)／(1一+Ic()+6=[(Ic(一6)e2—2k+6】／(1一+2)．依题意有(YI+y2)／2=0，故y+y2=0，．’．一6)一2k+6=0，从而可得=(2k一6)肚一6)②．(1)当k=l时，由式②可得e~=4／5，代入方程①化简整理，得所求椭圆方程为：()c+3)／5+=1．(2)由0<
