高三数学极限的综合应用【本讲主要内容】极限的综合应用综合应用数列与函数的极限概念、极限的四则运算及相关知识解决与极限相关的问题.【知识掌握】【知识点精析】1.数列极限的四则运算法则：如果，那么①②③特别地，如果C是常数，那么.2.数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当|q|<1时，无穷等比数列的各项和为.（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.3.函数极限的四则运算法则：如果，那么①②③特别地，如果C是常数，那么.（）注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.用心爱心专心4.几个常用极限：①②（0＜＜1＝；（＞1）③④，（）5.几个常用极限：①②③为常数）④⑤为常数）【解题方法指导】例1.已知，则的值是（）A.2B.0C.1D.4解析：∵故选A.例2.已知求m，n解法一：x=-2是方程x2+mx+2=0的根m=3用心爱心专心又n=-1综上解法二：(-2)2+(-2)m+2=0,m=3综上点评：（1）函数的定义域为，且存在。含有因式x+2（2）及存在，成立。例3.设.（1）分别求的值；（2）存在吗？解：用心爱心专心∴不存在评述：对无理函数求极限，化简、变形是关键。要注意体会两种不同的变法。【考点突破】【考点指要】新教材对数列极限的定义要求有所降低，但对数列与函数的运算和应用要求较高.近几年高考试题中与极限有关的试题经常出现，形式多为选择、填空。在解答题中出现的极限问题，一般是数列、函数、几何图形等知识的综合题，分值约在5～10分。【典型例题分析】例1.（2006福建理16）如图，连接的各边中点得到一个新的，又连接的各边中点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：，，，…，这一系列三角形趋向于一个点．已知，则点的坐标是．解析：如图，易知都在直线上，并且为的中点，为用心爱心专心的中点，以此类推，设=a，则.当时，.设，，同理可求，因此，这一系列的三角形无限地趋近于的重心，从而由重心的坐标计算公式，可以求得点的坐标为例2.（天津卷理16）．设函数，点表示坐标原点，点，若向量，是与的夹角（其中），设，____________________解：∵，∴.∴【综合测试】一、选择题：1.的值是（）A.B.C.D.2.当ｍ＜０，ｎ＞０时，的值是（）A.B.０C.－1D.用心爱心专心3.若，则（）A.B.AannlimC.AannlimD.可能不存在4.当时，的值是（）A.－1B.1C.0D.以上都不对5.（2005江西卷理8）（）A.－1B.1C.－D.二、填空题6.的值等于__________．7.计算：=．8.（2006安徽卷理13）设常数，展开式中的系数为，则．三、解答题：9.（2005湖南卷理3）已知数列{}（n∈N*）为等差数列，且a1＝3，a2＝5，求的值.10.已知数列{an}是首项为1，公差为d的等差数列，其前n项和为An，数列{bn}是首项为1，公比为q(|q|＜1＝的等比数列，其前n项和为Bn，设Sn=B1+B2+…+Bn,若.求d和q的值.用心爱心专心【达标测试答案】一、选择题：1.C提示：=2.B提示：3.D提示：如的极限存在，但的极限不存在。4.D提示：当时，当时，当时，＝０5.C提示：二、填空题6.提示：=7.3提示：=8.1提示：由二项式定理求得，从而求得三、解答题：9.解：∵数列{}（n∈N*）为等差数列，且用心爱心专心∴，∴，∴故∴=.10.解：Sn=B1+B2+…+Bn（正确的分离常量和变量，根据待定系数法构造关于d和q的方程组．）用心爱心专心评述：本题形式新颖，解法典型，三基检查全面，强调字母运算能力；注意解题后的反思，回味化归思想，待定系数法所起的作用．用心爱心专心
