高三数学招生考试模拟测试附加题（十一）-人教版高三全册数学试题VIP免费

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O的直径AB＝10，C为圆上一点，BC＝6.过C作圆O的切线l，AD⊥l于点D，且交圆O于点E，求DE的长．B.(选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M＝，求逆矩阵M－1的特征值．C.(选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点A，圆C的方程为ρ＝4sinθ(圆心为点C)，求直线AC的极坐标方程．D.(选修4-5：不等式选讲)已知a≥0，b≥0，求证：a6＋b6≥ab(a4＋b4)．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝AS＝2，P是棱SD上一点，且SP＝PD.(1)求直线AB与CP所成角的余弦值；(2)求二面角APCD的余弦值．23.已知函数f0(x)＝x(sinx＋cosx)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.(1)求f1(x)，f2(x)的表达式；(2)写出fn(x)的表达式，并用数学归纳法证明．(十一)21.A.解：因为圆O的直径为AB，C为圆上一点，所以∠ACB＝90°，AC＝＝＝8.因为直线l为圆O的切线，所以∠DCA＝∠CBA.所以Rt△ABC∽Rt△ACD，所以＝＝.(5分)因为AB＝10，BC＝6，所以AD＝＝，DC＝＝.由DC2＝DE·DA，得DE＝＝＝.(10分)B.解：设M－1＝，则MM－1＝＝，所以＝，所以解得所以M－1＝.(5分)M－1的特征多项式f(λ)＝＝(λ－1)＝0，所以λ＝1或.所以，矩阵M的逆矩阵M－1的特征值为1或.(10分)C.解：(解法1)以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.圆C的平面直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝8，圆心C(0，2)．A的直角坐标为(，)．(4分)直线AC的斜率kAC＝＝－1.所以，直线AC的直角坐标方程为y＝－x＋2，(8分)极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝2，即ρsin＝2.(10分)(解法2)在直线AC上任取一点M(ρ，θ)，不防设点M在线段AC上．由于圆心为C，S△OAC＝S△OAM＋S△OCM，(4分)所以×2×2sin＝×2×ρsin＋×ρ×2sin，即ρ(cosθ＋sinθ)＝2，化简，得直线AC的极坐标方程为ρsin＝2.(10分)D.证明：∵a6＋b6－ab(a4＋b4)＝a5(a－b)－(a－b)b5(2分)＝(a－b)(a5－b5)(4分)＝(a－b)2(a4＋a3b＋a2b2＋ab3＋b4)，(8分)又a≥0，b≥0，∴a6＋b6－ab(a4＋b4)≥0，即a6＋b6≥ab(a4＋b4)．(10分)22.解：(1)如图，分别以AB，AD，AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)．设P(x0，y0，z0)，由SP＝SD，得(x0，y0，z0－2)＝(0，2，－2)，∴x0＝0，y0＝，z0＝，点P坐标为.CP＝，AB＝(1，0，0)，(2分)设直线AB与CP所成的角为α，则cosα＝＝.(4分)(2)设平面APC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，所以令y1＝－2，则x1＝4，z1＝1，m＝(4，－2，1)．(6分)设平面SCD的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，由于DC＝(1，0，0)，DS＝(0，－2，2)，所以令y2＝1，则z2＝1，n＝(0，1，1)．(8分)设二面角APCD的大小为θ，由于cos〈m，n〉＝＝－，所以，由向量m，n的方向，得cosθ＝－cos〈m，n〉＝.(10分)23.解：(1)因为fn(x)为fn－1(x)的导数，所以f1(x)＝f′0(x)＝(sinx＋cosx)＋x(cosx－sinx)＝(x＋1)cosx＋(x－1)(－sinx)，(2分)同理，f2(x)＝－(x＋2)sinx－(x－2)cosx.(4分)(2)由(1)得f3(x)＝f′2(x)＝－(x＋3)cosx＋(x－3)sinx，(5分)把f1(x)，f2(x)，f3(x)分别改写为f1(x)＝(x＋1)sin＋(x－1)cos，f2(x)＝(x＋2)sin＋(x－2)cos，f3(x)＝(x＋3)sin＋(x－3)cos，猜测fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)cos(x＋)(*)．(7分)下面用数学归纳法证明上述等式．(ⅰ)当n＝1时，由(1)知，等式(*)成立；(ⅱ)假设当n＝k时，等式(*)成立，即fk(x)＝(x＋k)sin＋(x－k)cos.则当n＝k＋1时，fk＋1(x)＝f′k(x)＝sin＋(x＋k)cos＋cos＋(x－k)＝(x＋k＋1)cos＋[x－(k＋1)]＝[x＋(k＋1)]sin＋[x－(k＋1)]cos(x＋π)，即当n＝k＋1时，等式(*)成立．综上所述，当n∈N*时，fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)cos成立．(10分)