28数学通讯2【}【】【)年第2期抓住曲线的定义巧解难题程锐江苏林阳县中学．江苏2236011)IIIIIII川IIIIIIIIIll⋯川⋯ⅢⅢ川川ⅢIllIllIII川Ⅲ⋯IIl川川⋯IlIIIII中圈分类号：0124文献标识码：C文章编号：O4887395(2000)02—002B一01在圆锥曲线中．有这样一类习题已知曲线方程及曲线所在平面内一定点．在曲线上求一点，使该点到焦点的距离与捌定点的距商之和最小．具体做时，可采用两点何距离公式求解，思路很清晰，但是，计算量却相当太．有时不能解到底，故称难题．如果能抓住曲线的定义，刚可得巧解，从而化难为易．倒1如图l所示，已知抛物线的方程为：Y。=2一定点^(⋯Y)，在抛物绳上求一点M，使IAMI+{FI最小丹析：抛物线的焦点坐标为(．Ⅱ)，准线的方程为一一．田l捌l圉根据抛物线的定义，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离相等，因此，可在抛物钱上任职一点M．过作准线的垂线，交准线于．连接AM和M‘F．鼬InMI+IFI—IA}+I}再过A点作准线的垂线，与抛物线交于点，交准线于点，则有IMI+I肘FI=IAI+1MN1=1AN1，显然{AN1≤1AM1+1^彳1，即IANI为最小，故M点为所求点．将一．．代人抛物，，．!线方程得=-即所求M点的坐标为(-)．倒2如图2所示，已知椭圆方程为：+1音一1．一定点，(“，y、)．在椭圆上求一点M使II十IM凡I最小．分析：椭圆焦点坐标分别为FL(-c，0)，F2(f．围2倒2围o)．由糖圆定义知，椭四上任一点刊F．，F：，的距离之和为定擅抽．若连接并延长交糖圊于M点，连接，收稿日期：199目一09—24则IFMI+lPI——IPF-I．在椭圆上I；亮M点外任取一点，连FttMFz，P，显然IMI十II+IP．I>I’{M}+IMFtI一2．所以．I{IMI>一IF-I所．图中M点为所求点过，F的直线方程为(r+一)一rr—r．c一(】．f(r··)一c一Y一()解1+=t可得M点的坐标(此处略)．倒3如图3所示，已知双曲线方程匀著一吾=1，一定点(⋯y)在双曲线右支的右方，在双曲线上求一点M，使IPMI+IMF。i最小．分析：由双曲线的定义．双曲线上任取一点到，的距离之差的绝对值是定值2“在双曲线右半支上任取一点，连接^，M-，在M上藏．承／圈3倒3围取I^AI=IMI，jII／L点到F的距离为定值2。．即A点在以F为圆心，2n长为半径的嚣上．要想I，f+I肘I最小，即使}肘’：十IAI最小连接F-．交双曲线于M点，交0于^点．显然．IPMI+IMF2}=IMI+IMA一IF．I一孙≤II+{MI一2a—I，’Ml+IMAI．即IP肼f+IMf最小．所以，M为所求点．求出所在直线方程，再与双曲线方程联立即可求得M点的坐标(此处略)．
