高三数学导数及其运算知道精讲VIP专享VIP免费

高三数学导数及其运算【本讲主要内容】导数及其运算导数的概念、求导数的方法【知识掌握】【知识点精析】1.导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门科学。它为有效地解决一些传统的初等数学问题提供了一般性的方法，如求曲线的切线方程，函数的区间，不等式的证明，函数的最值及有关实际问题。运用求导的方法不仅简便易行，而且形象直观，有助于对函数性质的深刻理解和认识。2.导数的有关概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f(x+)-f(x)比值叫做函数y=f(x)在x到x+之间的平均变化率，即=如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数（或变化率），记作或|，即==说明：（1）函数f(x)在点x处可导，是指时，有极限；如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，而是函数值的改变量。时，可以是零。（3）求函数y=f(x)在点x处的导数的方法是：①求函数的增量=f(x+)－f(x)；②求平均变化率=；③取极限，得导数=。用心爱心专心如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点处都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导。这时，对于开区间(a，b)内每一个确定的值x，都对应着一个确定的导数，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)的导函数，记作或，即==说明：（1）导函数也简称导数。当时，函数y＝f(x)在点处的导数等于函数f(x)在开区间(a，b)内的导数在点处的函数值。（2）求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导数，再计算这点的导数值。（3）如果函数y＝f(x)在点处可导，那么函数y＝f(x)在点处连续。导数的意义①瞬时速度，②曲线的斜率3.常见函数的概率①(C为常数)②()③，④，⑤a4.导数的四则运算①②③（v≠0）5.复合函数的导数一般地，由函数与可得复合函数（其中u称为中间变量），则即6.导数的几何意义函数y＝f(x)在点处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P（，f(x)）处的切线的斜率。【解题方法指导】例1.求yxcos在点A（632，）处的切线方程。分析：首先求得切线斜率，然后利用点斜式写出切线方程。解：yxyxcos'sin，用心爱心专心yx'|sin6612∴在点A处切线方程为：yx32126()即yx12322评述：常见的导数公式必须熟记，以后随时出现，这些公式由导数定义推导出来的。例2.求yxsin()223的导数。分析：题目结构较为复杂，先设中间变量，然后由复合函数的求导法则求导。解：设yuuvvx223，，sin，则yyuvuvxxuvxuvx''''()'(sin)'()'22322223232uvxxcossin()cos()2423sin()x评述：复合函数的求导过程就是对复合函数由外向里求导，每次求导都针对着最外层相应变量进行的，直至求到最里层为止，所谓最里层就是指可以直接引用基本公式表进行求导【考点突破】【考点指要】导数的应用非常广泛，近年来高考中对导数的考查在深度和广度上进一步挖掘，所占比重逐年增加，大约在12分，被大家所重视。在本节中主要以基本概念和基本公式为考查重点。【典型例题分析】例3.（2006海淀）a>0，求fxxxa()ln()的导数。分析：本题主要考查了yxn和yxln两种函数的导数，对于常见的函数的导数要牢记。解：()'()'xxxx121211212[ln()]'xaxa1fxxxa'()121例4.（2006崇文）求fxxaxaex()()2的导数。分析：对求导题目要注意，要牢记公式，同时要注意复合函数间的关系。用心爱心专心解：fxxaxaexaxeexx'()()'()()'22()()22xaexaxaexxxxaex()2例5.（2006宣武）在曲线yx112上求一点，使通过该点的切线平行于x轴，并求切线方程。分析：设所求点为（xy00，），由已知可知，所求切线的斜率为0，也就是函数在所求点的导数为0。即fx'()00这是关键，然后再根据切线方程的定义写出切线方程。解：设所求点的坐标为（xy00，），因为过（xy00，）的点的切线平行于x轴，于是k0由导数的几何意义知：kfxxxxxx'()()'|()020022112100x00又()xy...