高三数学备考练习：第八讲共线与共点 旧人教版VIP免费

高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第八讲共线与共点》主编：贾广素81第八讲共线与共点一．点共线问题在同一条直线上的若干点称为共线点,或称为这些点共线.多点共线问题一般转化为三点共线问题来解决.证明三点共线的方法主要有:1.利用射线定义,夹角定义或对顶角逆定理即要证,,ABC三点共线,可证:(1)180ABC(如图1);(2)DABDAC或180DABEAC且,,DAE三点共线(如图2);(3)DACBAE且,,DAE三点共线或180DACDAB(如图3).2.利用平行关系或垂直关系(1)要证明,,ABC三点共线,只需证//;ABBC(2)要证是,,ABC三点共线,只需证,ABAC与同一条直线垂直.3.利用面积这是一种处理三点共线问题的一个比较有效的方法,我们的思路是:不共线的三点组成三角形,则这个三角形的面积不为零;反之,如果三点所组成的三角形的面积为零,则这三点就不能不共线.4.利用同一法要证明,,ABC三点共线,只要在AC上找到一点B,并证明B和B重合即可.同一法的两个实用技巧是“等线段比”和“等面积比”。5．利用三点共线的两个充要条件（1）张角定理：如图，,,PQR三点共线sinsinsin.PARPAQQARAQARAPABC(1)ABC(2)DEABC(3)DEPQR(1)AMBNPA(2)高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第八讲共线与共点》主编：贾广素82（2）定理：如图，,,APB三点共线sinsin.sinsinMAAMPNAANPMBBMPNBBNP6.利用定理例如（1）梅涅劳斯定理及其逆定理；（2）西姆松线等。ABCPBCABACDEFDEF西姆松定理：若从外接圆上一点作、、的垂线，垂足分别为、、，则、、三点共线；7．利用位似变换这一点我们在讲几何变换时再给出详尽地解答和例题.8．利用解析法9．利用笛沙格定理如果两个三角形的对应顶点连线通过一点,则两个三角形的对应边交点位于一条直线上.10.*帕斯卡定理内接于一个非退化二阶曲线的简单六边形的三对对边的交点共线,这条直线称为帕斯卡直线.下面我们举例说明这些方法的应用.例1.如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD，BFCG。又作平行四边形CFHD，CGKE。求证：H，C，K三点共线。证明：连AK，DG，HB。由题意，ADECKG，知四边形AKGD是平行四边形，于是AKDG。ABCDEFHKG三点共线、、且又同理可得：四点共圆，、、、即可；，显然，只需证明、证明：连接FEDFDCBDEFPCBPEPBEPBAPCFPFCBEPPFCFDCBPEBDEDPEBBEPBDPFDCBDEDFDE1809090的外接圆上；在在同一直线上，则、、若其垂足作垂线，或它们的延长线的三边向点西姆松的逆定理：从一ABCPNMLABCP)(高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第八讲共线与共点》主编：贾广素83同样可证AKHB。四边形AHBK是平行四边形，其对角线AB，KH互相平分。而C是AB中点，线段KH过C点，故K，C，H三点共线。探究1：菱形ABCD中，∠A=120°，O为△ABC外接圆，M为其上一点，连接MC交AB于E，AM交CB延长线于F。求证：D，E，F三点共线。例2．四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E，F。求证：P，E，F三点共线。证明：如图。连接PQ，并在PQ上取一点M，使得B，C，M，P四点共圆，连CM，PF。设PF与圆的另一交点为E’，并作QG丄PF，垂足为G。易知QE2=QM·QP=QC·QB①∠PMC=∠ABC=∠PDQ。从而C，D，Q，M四点共圆，于是PM·PQ=PC·PD②由①，②得PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB，即PQ2=QC·QB+PC·PD。易知PD·PC=PE’·PF，又QF2=QC·QB，有PE’·PF+QF2=PD·PC+QC·AB=PQ2，即PE’·PF=PQ2-QF2。又PQ2－QF2=PG2－GF2=(PG+GF)·(PG－GF)=PF·(PG－GF)，从而PE’=PG－GF=PG－GE’，即GF=GE’，故E’与E重合。所以P，E，F三点共线。探究2：以圆O外一点P，引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点。割线PCD交圆O于C，D。又由B作CD的平行线交圆O于E。若F为CD中点，求证：A，F，E三点共线。CE(E')ABDFPMQG高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第八讲共线与共点》主编：贾广素84探究3：求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所...