高三数学备考练习：第五讲平面几何的著名定理 旧人教版VIP免费

高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第五讲平面几何的著名定理》主编：贾广素47第五讲平面几何的著名定理1998年，美国科学家和教育家在美国的科学年会上一致认为：21世纪，几何学万岁.除几何学理论广泛应用于CT扫描、无线电、高清晰度电视等最新电子产品与最新医疗科学之外，其本身具有较强的直观效果，有助于提高学生认识事物的能力，有助于培养学生的逻辑推理能力有助于数形结合方法解题.用点、线、面可构成许许多多千姿百态的几何图形，直观的几何图形便于学生认识问题、思考问题、解决问题.如果能养成一个好习惯：“每做一道题都画一个几何图形或一幅几何示意图”，这对于理解、思考、解题都是大有益处的.在中国数学奥林匹克(CMO)的六道试题中，以及国际数学奥林匹克（IMO）的六道试题中，都至少有一道平面几何试题的存在.同样，在每年十月份进行的全国高中数学联赛加试的三道试题中，必有一道是平面几何题，占全国高中数学联赛总分300分中的50分，因此有人曾说：“得几何者，得一等奖”.除了在初中的课本中已经介绍的重要定理之外，在数学竞赛中，平面几何问题还要用到许多著名的定理，现择其应用较广的几个介绍如下.一．梅涅劳斯定理梅涅劳斯是古希腊的著名的几何学家，在他著名的几何著作《球论》中，他提出了“梅涅劳斯”这条著名的定理.梅涅劳斯定理：设,,DEF分别是ABC的边,,BCCAAB或其延长线于点，若,,DEF三点共线，则1.BDCEAFDCEAFB○1这里有几点需要向大家说明：1.不过顶点的直线与三角形3边的关系有两种情况；（1）若直线与三角形的一边交于内点，则必与第二边交于内点，与第三边交于外点（延长线上的点）；（2）直线与三角形的三边均交于外点，因而本题的图形有2个.2.结论的结构是，三角形三边上6条被截线段的比，首尾相连，组成一个比值为1的等式点点点点点点点点点点点点端到截端到截端到截××＝1.截到端截到端截到端3.这个结论反映了形与数的结合，是几何位置的定量描述：“三点共线”量化为比值等高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第五讲平面几何的著名定理》主编：贾广素48于“1”,反过来○1式成立时，可证“,,DEF共线”（逆定理也成立）.这里的“1”,如果考虑到线段的方向，应为“1”.4.此题证明的基本想法是将6条线段的比转化为3条线段,,abc的连环比，能使分子分母相约1.abcbca为此，可有多种作平行线的方法.下面提供一个不作辅助线的三角证法.证明：如右图所示，在,,FBDCDEAEF中，由正弦定理得：sin,sinsin,sinBDBFCECDsinsin.sin()sinAFAE将上述三式相乘即得结论.一般地，设,,DEF为ABC三边（或其延长线）上的三点，且1,AFFB2,BDDC3,CEEA则有1231231,(1)(1)(1)DEFABCSS从而12301.DEFS梅涅劳斯定理的应用非常广泛，不仅如此，其证明方法也是很多的，下面我们再提供两种常用的证明方法：证法二：如右图所示，过点A直线//AADF交BC的延长线于A，则,CECDAFADEADAFBDB，故1.EDCEAFBDBDCDADDCEAFBDCDCDADB证法三：由,,.CEFCEFCDEFCDDFBAEDDFCEAFEAFDABAFDFBDSSSSSSBDCEAFDCSEASSSSFBS此三式相乘即可得证.梅涅劳斯定理的逆定理：设,,DEF分别是ABC的三边,,BCCAAB或其延长线上的点，若1,BDCEAFDCEAFB○2则,,DEF三点共线.证明：设直线DE交AB于点1F，由梅涅劳斯定理，得到111.AFBDCEDCEAFA由题设，有1BDCEAFDCEAFB，从而11.AFAFFBFB又由合比定理，知1,AFAFABAB故有1AFAF，从而1F与F重合，即,,DEF三点共线.有时，也把上述两个定理合写有一个定理：设,,DEF分别是ABC的三边,,BCCAAB所ABCDEFABCDEFABCDEFA高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第五讲平面几何的著名定理》主编：贾广素49AFCDBE在直线（包括三边的延长线）上的点，且有奇数个点在边的延长线上，则,,DEF三点共线的充要条件是1.BDCEAFDCEAFB（这里“,,XYZ三点中有奇数个在边的延长线上”这一点非常重要，否则梅涅劳斯定理不成立.）角元形式的梅涅...