高三数学备考练习：第十一讲面积问题与面积方法 旧人教版VIP免费

高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第十一讲面积问题与面积方法》主编：贾广素115第十一讲面积问题与面积方法平面几何中的面积方法实际上是指借助于面积公式的一种计算方法。由于面积既有代数意义，又有几何意义，因此在几何证明中面积方法占有特别重要的地位。下面我们给出几个面积方法中常用的一些公式和定理。1．面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．设△ABC，cba,,分别为角CBA,,的对边，ah为a的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，)(21cbap．则△ABC的面积有如下公式：（1）aABCahS21；（2）AbcSABCsin21（3）))()((cpbpappSABC（4）prcbarSABC)(21（5）RabcSABC4（6）CBARSABCsinsinsin22（7）)sin(2sinsin2CBCBaSABC（8）)(21acbrSaABC（9）)2sin2sin2(sin212CBARSABC梯形的面积公式梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半．扇形面积公式高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第十一讲面积问题与面积方法》主编：贾广素116221122360Slrrr，其中r为半径，l为弧长，θ为弧l所对的圆心角的度数，α是弧度数．2．面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；（2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（6）共边比例定理：若△PAB和△QAB的公共边AB所在直线与直线PQ交于M，则QMPMSSQABPAB::；（7）共角比例定理：在△ABC和△CBA中，若AA或180AA，则CABAACABSSCBAABC．3．张角定理：由P点出发的三条射线PCPBPA,,，设APC，CPB，180APB，则CBA,,三点共线的充要条件是：PCPAPB)sin(sinsin．.一．有关面积的计算与证明例1.ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，且BE=DF，BE交DF于P，求证：AP为∠BPD的平分线。证明：设A点到BE，DF距离分别为h1,h2，则,21,2121hDFShBESADFABE又因为21ABESS◇ABCD=SΔADF，又BE=DF。所以h1=h2，所以PA为∠BPD的平分线。探究1：设AD，BE与CF为ΔABC的内角平分线，D、E、F在ΔABC的边上，如果∠EDF=900，求∠BAC的所有可能的值。高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第十一讲面积问题与面积方法》主编：贾广素117例2．梯形ABCD的对角线BDAC,相交于O，若AOBS=4，CODS=9，试求四边形ABCD的面积S的最小值。解：过点O，做梯形的高与AB交于E，与CD交于F；并设OE=x,OF=y;则AOBS=42xAB;8ABx.CODS=92yCD;18CDy.()2ABCDABCDEFS梯形818()()2xyxy21818()2xyxy(柯西不等式）＝21(818)2＝21(2232)2=25.柯西不等式子等号成立的条件是22818xy,即23xy,此时梯形的面积取最小值为25.探究2：已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO的面积.例3.通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S1，S2，S3，求△ABC的面积．解：为方便起见，设1QDGSS2QIESS，3QFHSS，则132212QCESSCEQESSEIEIS，所以22311.4SSS○1同理可得21231.4SSS○2高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第十一讲面积问题与面积方法》主编：贾广素11823121.4SSS○3从①，②，③中可以解得231312123123,,.222SSSSSSSSSSSS所以123ABCSSSS231312123.222SSSSSSSSS探究3：如图所示，AD，BE，CF交于△ABC内的一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．二．利用面积解题有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，然而若...