高三数学圆锥曲线中最值问题的求解策略VIP专享VIP免费

圆锥曲线中最值问题的求解策略最值问题是圆锥曲线中的典型问题，解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从四个方面予以阐述。一、求点的坐标的最值例1.定长为l(l>)的线段AB的端点在双曲线的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为A、B、C、D、解析：如图，作出双曲线的右准线，过A，B作AA′、BB′垂直于准线，垂足为A′，B′。又过AB的中点M作MM′垂直于准线，垂足为M′，则求M点横坐标的最小值，实质上是求线段|MM′|的最小值.因为|MM′|=(|AA′|+|BB′|)，⑴据双曲线的第二定义：=e,可得|AA′|=|AF|，|BB′|=|BF|，将此二式代入⑴，结合三角形两边之和大于第三边可得：|MM′|=(|AF|+|BF|)≥|AB|，当且仅当A、F、B三点共线时，即AB过焦点F时，有|AF|+|BF|=|AB|。即|MM′|min=|AB|=，此时x―==.故x=+.选(D)评注：求解本题的关键是审题时对双曲线定义及平几知识的把握和应用。二、求两条线段的和的最值例2.点M和F分别是椭圆上的动点和右焦点，定点B(2,2).⑴求|MF|+|MB|的最小值.⑵求|MF|+|MB|的最小值.解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F′(-4,0)，离心率e=，准线方1FA'ABB'MM'OyMFxF'OyBABOPxy程x=±.⑴|MF|+|MB|=10―|MF′|+|MB|=10―（|MF′|―|MB|）≥10―|F′B|.当M，B，F′三点共线时，|MF′|―|MB|取最大值|F′B|.此时|MF|+|MB|≥10―|F′B|=10―2.⑵过动点M作右准线x=的垂线，垂足为H，则.于是|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=.可见，当且仅当点B、M、H共线时，|MF|+|MB|取最小值.评注：从椭圆的两个等价定义出发，再将问题转化为平几中的问题：三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。是解决此类问题的常见思路。三、求面积的最值例3.如图，A、B、P(2,4)是抛物线y=―x2+6上的点，且直线PA、PB的倾斜角互补，若直线AB在y轴上的截距为正，求△APB面积的最大值.解析：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则①―③得y1―4=―(x1+2)(x1―2)kPA==―(x1+2)；②―③得y2―4=―(x2+2)(x2―2)kPB==―(x2+2).∵直线PA与PB的倾斜角互补，∴kPA＋kPB=―（x1+x2+4）=0x1+x2=―4.①―②得y1―y2=―(x1+x2)(x1―x2)，kAB＝＝―(x1+x2)=2.设直线AB为y=2x+b(b>0)，代入y=―x2+6，得x2+4x+2b―12=0.∴|AB|=2FxOyBMHMF2xF11OyF又P(2,4)到直线AB：2x―y+b=0的距离为，∴S△ABC=d|AB|=××=b=≤=.当且仅当b=时，S△ABC取到最大值.评注：本题关键是用“点差法”求得kAB，在求S△ABC最大值时应注意基本不等式的合理应用。四、求最值条件下的曲线方程例4.已知椭圆的焦点F1(―3,0)、F2(3,0)且与直线x―y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程.解法1：设椭圆为=1与直线方程x―y+9=0联立并消去y得：(2a2―9)x2+18a2x+90a2―a4=0，由题设△=(18a2)2―4(2a2―9)(90a2―a4)≥0a4―54a2+405≥0a2≥45或a2≤9.∵a2－9>0,∴a2≥45,故amin=3，得（2a）min=6,此时椭圆方程为.解法2：设椭圆=1与直线x―y+9=0的公共点为M(acosα,)，则acosα―+9=0有解.∵=―9cos(α+)=，∴||1≥9a2≥45,∴amin=3，得（2a）min=6,此时椭圆的方程.解法3：先求得F1(―3，0)关于直线x―y+9=0的对称点F(―9,6)，设直线F1F2与椭圆的交点为M，则2a=|MF1|+|MF2|=|MF|+|MF2|≥|FF2|=6，于是(2a)min=6,易得a2=45,b2=36，此时椭圆的方程为.评注：本题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同角度进行分析和处理，有利于打开眼界，拓宽思路，训练思维的发散性。解决圆锥曲线中的最值问题，必须在熟练并准确地掌握圆锥曲线的定义、性质的基础上，灵活运用函数与方程、转化与划归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含，恰当的确立解题方法，此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、规范合理、结果准确。3