数学原创试题（15）原创试题1：已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总不在椭圆外部，则椭圆离心率的取值范围是()A.(0，1)B.(0，]C.(0，]D.[，1)答案：C解析：设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a、b、c，∵MF1·MF2＝0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总不在椭圆外部，∴该圆内含或内切于椭圆，即c≤b，c2≤b2＝a2－c2.∴e2＝≤，而e∈(0，1)，∴0P(η≥2)．（10分）从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强．（12分）【规律总结】概率、概率分布列、数学期望问题的特点是文字长，解题时要有耐心并且要细心，对文字与数学的衔接要敏感，要从中准确找出相应的数学模型；就本题而言，以“高中新课标学业水平测试”为背景，考查等可能事件概率、离散型概率分布列、数学期望与方差以及二项分布的分布列、数学期望与方差的计算，考查运用数学知识解决实际问题的能力，求解本题的关键是识别概率类型，从容求解。原创试题3：在2012年普通高校招生考试中，某校甲乙两个班级的数学成绩，按照大于等于115分为优秀，115分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.优秀非优秀总计甲班10ac乙班b30d合计ef105已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为27．则(1)a=，b=；(2)若按95%的可靠性要求，根据列联表的数据，认为“成绩与班级（有，无）关系”；答案：(1)a=45人b=20人，(2)有用心爱心专心1解析：【解析】依题意，优秀的总人数为105×=30人，所以b=20,非优秀人数为75人，a=45；又e=30,f=75,c=55,d=50,所以，得到2105(10302045)6.1093.84155503075k因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．用心爱心专心2
