高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【知识掌握】【知识点精析】1.函数的单调性：设函数的定义域为I，D是I的一个区间，如果对于任意的，其，都有则称在区间D上是增函数，同时D是函数的增区间；如果对于任意的，且都有，则称在区间D上是减函数，同时，D是函数的减区间。并统称具有上述情况的函数具有单调性。注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数在（0，）同时在（），偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。如求的单调增区间令，则关于是增函数又当时，关于是增函数∴是函数的增区间令，则关于是减函数又当时，关于是减函数∴是函数的增区间综上所述，函数的增区间为和（5）对于可导函数，若在独立区间D上，，则是D上的增函数，，则为减函数。2.函数的奇偶性：对于函数，D是其定义域，若任取，都有，则称是偶函数，若任取，都有，则称是奇函数，函数的奇偶性是函数的整体性质，无论是奇函数，还是偶函数，都称它们具有奇偶性，这点不同于单调性。注：（1）由定义可知，函数定义域在轴上反映出具有关于原点对称的特征，这是函数具有奇偶性的必要条件，也即不是这一特征，不说函数的奇偶性。当然，既然有奇函数，偶函数，也就有非奇非偶函数，那么是否有既是奇函数又是偶函数呢？有，如，是常函数，则只要D关于原点对称即是既奇又偶函数。（2）函数的奇偶性，从其图象上反映出来的特征其实是它的对称性，奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于轴对称，且条件具有充要性。这一图象特征，又可延伸到《解析几何》的研究方法上。（3）对于奇函数，若，则必有。（4）在初等函数中，一次函数只可能是奇函数，但要求，二次函数只可能是偶函数，但也要（对称轴是轴），指数、对数函数是不具有奇偶性的，三角函数具有奇偶性。（5）在公共定义域内，两个同奇偶的函数之和、差、积、商不改变其奇偶性，一奇一偶的积、商为奇函数，这一点类似符号法则（视奇为“－”偶为“+”）。（6）判断函数的奇偶性的方法关系式：与关系计算式：或是（奇函数）或是（偶函数）（7）任意一个函数都可以构造出具有奇偶性的函数如（偶函数）（奇函数）3.函数的周期性：对于函数，若存在一个常数T（）使得对于定义域中的任意值，都有成立，则称T是的周期。周期性也是函数的一个整体性质，这点在三角函数中有充分的表现，在高数中常以抽象函数的形式出现，其图象特征便是规律性再现。注：（1）抽象函数的周期表现，对于函数，若是周期函数，且，若是周期函数，且（2）从函数图象上分析，定义在R的一个函数，如果图象有两条对称轴，与（），则它必有无数对称轴，且它是周期函数，，如果其图象有一个对称中心，一条对称轴，则它必有无数的对称中心与对称轴，且它是周期函数，。（3）若T是的周期，则（）亦为的周期，一般我们尽可能选择正数，较小的数作其周期（即最小正周期）。【解题方法指导】[例1]判断下列函数的奇偶性（1）（2）（3）（4）解：（1）时函数有意义，但，故定义域不是对称性∴是非奇非偶函数（2）∴是奇函数（这里要注意对数的运算法则）（3）∴是奇函数（判断奇偶性不应仅从形式上观察，以代可能使得函数表达式不具可判断的形式，要依赖函数本身的运算性质进行变形比较，方可得结论。）（4）∴是奇函数本函数也可分解令，则，而分子是奇函数，分母是偶函数，故其商为奇函数。[例2]已知，且，求的值。分析：已知条件中含有2个参数，仅由的值求的值，就要建立与的相关联，整体求解，而非确定再求解，这种关联便是通过函数的奇偶性来确定。解：设则∴是周期为的奇函数即[例3]函数是以4为周期的函数，且当时，，则当时，...
