高三数学函数值域及最值的求法VIP专享VIP免费

函数值域及最值的求法⒈配方法利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。此方法一般可解决形如y=a[f(x)]2+bf(x)+c(a≠0)的函数的值域与最值。例1、求函数y=x2-6x+2的值域。解法一： y=x2-6x+2＝(x-3)2－7又 (x-3)2≥0∴(x-3)2－7≥－7∴函数的值域是［－7，＋∞）＃这里用到了配方法求函数的值域。解法二：二次函数y=x2-6x+2是对称轴为x=3，开口向上的抛物线，故当x=3时，函数有最小值f(3)＝－7。∴函数的值域是［－7，＋∞）这里运用了二次函数的图象和性质求值域。一般地，求一次、二次函数的值域与最值，还要考虑它们的定义域。例如，在例1中将题目改为：y=sin2x-6sinx+2，则函数的值域就不是［－7，＋∞）了。因为当xR∈时，sinx[-1,1]∈，而sinx取不到3，则函数值取不到－7。解法一： y=sin2x-6sinx+2＝(sinx-3)2-7（配方法）又 sinx[-1,1]∈，∴函数的值域是［－3，9］＃解法二：令sinx=t，则y=t2-6t+2t[-1,1]∈它的图象是抛物线的一段（如图）∴函数的值域是［－3，9］＃在此方法中用到了数形结合的方法。⒉反函数法由互为反函数的两个函数具有的性质，可以通过求反函数的定义域来确定已知函数的值域。例2、求函数y=的值域。用心爱心专心解：由于函数y=的映射是一一映射（证明略）故反函数存在，其反函数为y=(x≠)∴函数的值域为{y|y≠，且yR}∈＃说明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般说来，用此方法求值域只用于形如y=(c≠0)的函数，并且用此方法求函数的值域，也不是比较理想的方法（见方法5）。⒊判别式法一般地，求形如y=的有理分式函数的值域，可把原函数化成关于x的一元二次方程：f(y)x2+g(y)x+ψ(y)=0,根据方程的判别式Δ＝g2(y)-4f(y)ψ(y)≥0求出y的取值范围，从而得出原函数的值域。但要注意几点：⑴在Δ≥0中，应考虑“＝”能否成立；⑵由于在变形过程中涉及到去分母，故应考虑函数的定义域是否为R；f(y)≠0⑶，应验证f(y)＝0的情况。否则用“判别式法”求出的值域与最值是不可靠的。例3、求函数y=的值域。解：视y为参数，解关于x的方程，得(y-2)x2+(y+3)x+(y-1)=0......(＊) 原函数的定义域为R当y≠2时，方程（＊）有解的充要条件为Δ＝(y+3)2-4(y-2)(y-1)≥0解此不等式，得.又当y=2时，x=∴函数的值域是⒋换元法当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）时，为用心爱心专心了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（或几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向。换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）。在中学数学问题中，常见的基本换元形式有式代换、三角代换、点代换、参数代换。例4、求函数y=的最值。解:令=t(t≥0)，则x=-2，从而y=≥0当t=0，即x=-2时，ymin=0当t＞0时，y=（当且仅当t=时，上式等号成立）于是当x=()2-2=－时，ymax=＃这里用到了式代换及均值不等式的方法。例5、求函数y=x+的值域。分析：注意到sin2θ+cos2θ=1，故此可令x=sinθ.解： 1-x2≥0,|x|≤1,∴设x=sinθ(θ∈)，则y=sinθ+cosθ=sin(θ+) #这里用到了三角代换。⒌单调性法利用所学基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域与最值，在求函数的值域与最值中，是一种比较简捷、巧妙的方法。例6、求函数y=的值域。本题可用反函数法求解（见例2）。下面我们用单调性法来求解。解：用心爱心专心(此方法也叫做分离系数法）根据函数y=k/x的性质，可知上式中y≠1/3∴函数的值域为（－∞，1/3)(1/3,+∞)∪＃例7、求函数y=(1/3)-x+2x+3的值域。解：令u=-x2+2x+3，则u(-∞,4]∈根据指数函数y=(1/3)u的单调性可知y[(1/3)∈4,+∞)∴函数的值域为［3－4，＋∞）＃⒍不等式法运用均值不等式可解决：如果n个正数的积（或和）为常数，则当且仅当这n个相等时，它们的和（或积）有最小（或最大）值。在此，由于篇幅有限，不再举例说明。可参看例4。⒎数形结合法数形结合是中学数学中的一种重要的数学思想方法。数是形的抽象概括，形是数的直观表现...