二项式定理一周强化一、一周知识概述本周主要学习了二项式定理，主要内容有二项展开式，二项展开式的通项，二项式系数等．二、重难点知识归纳1、二项式定理（n∈N＋）.公式右边的多项式叫做的二项展开式.二项展开式的通项公式.说明：（1）二项展开式具有以下特征：①项数：共有n＋1项；②系数：依次为；③指数：a的指数从n起依次减少1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止；各项a，b的指数之和恒为n.（2）通项表示二项展开式中的任意项，只要n与k确定，该项也随之确定；公式表示的是第k＋1项，而不是第r项；公式中的a,b的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n．2、二项式定理的应用（1）利用二项式定理进行近似计算用心爱心专心利用二项式定理求幂的近似值，先将底数化为一个整数与一个绝对值较小的数的代数和，再利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．（2）利用二项式定理解决整除问题．利用二项式定理解决有关多项式的整除问题，关键是将所给多项式中的幂通过恒等变形变为二项式形式，使幂的底数两项中一项含有除式（或除式的因式），而另一项绝对值较小，然后展开证明．3、二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.（2）增减性与最大值.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大.（3）二项式系数的和为2n,即.说明：①这里是二项式系数（即组合数，r=0,1,2,…,n）的性质，而不是二项展开式系数的性质.②当n是偶数时，中间一项的二项式系数是；当n是奇数时，中间两项是，.③奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即.④对二项式和其他恒等式中的字母赋值，就可得到各种不同的等量关系.三、典型例题剖析例1、求的展开式中的第4项的二项式系数，第4项的系数和含的项.例2、求的展开式中x2的系数.用心爱心专心例3、求证：能被7整除.例4、若，则的值为（）A．0B．2C．－1D．1例5、的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大和系数最大的项.试题答案三、例1：解：第4项的二项式系数为=10.由知，第4项的系数为.令得k=2．∴含的项为.小结：①注意二项式系数与系数的区别.②注意通项公式的运用.用心爱心专心例2：解法一：所给的代数式是五个二项式的代数和，因此所求的x2的系数就应该是这个二项式的展开式中x2的系数的代数和，即.∴x2的系数为－20.解法二：原式=.所求的x2的系数就是(x－1)6中x3的系数，即为－.说明：对于某些不是二项式的题目，可先化为二项式再求解.例3：解法一：所给的代数式是五个二项式的代数和，因此所求的x2的系数就应该是这个二项式的展开式中x2的系数的代数和，即.∴x2的系数为－20.解法二：原式=.所求的x2的系数就是(x－1)6中x3的系数，即为－.说明：对于某些不是二项式的题目，可先化为二项式再求解.例4：分析：令x＝1，x＝－1可得和的值，进而求解问题.解：令x＝1，有.令x＝－1，有，用心爱心专心例5：分析：根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶数，确定二项式系数最大的项，系数最大的项则由不等式组确定.解：..∴的展开式中，二项式系数最大的项为.又设第r＋1项系数最大，则有又r∈N，∴r＝5或r＝6，故系数最大的项为.用心爱心专心
