专题三、导数的综合应用2009-2-25高考趋势导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大．常常运用导数确定函数的单调性，进而研究函数的最值极值，方程及不等式的解等．导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。考点展示1.设函数的最大值为3，则f(x)的图象的对称轴的方程是2.已知函数的导函数为，且满足，则6。3.曲线在点（）处的切线方程为4.设，函数的导函数是，且是奇函数.若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为5.函数在定义域R内可导，若，且当时，，设则6.函数的定义域为（a,b），其导函数内的图象如图所示，则函数在区间（a,b）内极小值点的个数是17.如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为____________．样题剖析例1、（2008浙江）已知是实数，函数.⑴求函数f(x)的单调区间；⑵设g(x)为f(x)在区间上的最小值.（i）写出g(a)的表达式；（ii）求的取值范围，使得.（1）解：函数的定义域为，（）．若，则，用心爱心专心oyx-33有单调递增区间．若，令，得，当时，，当时，．有单调递减区间，单调递增区间．（2）解：（i）若，在上单调递增，所以．若，在上单调递减，在上单调递增，所以．若，在上单调递减，所以．综上所述，（ii）令．若，无解．若，解得．若，解得．故的取值范围为．变式：已知函数.（1）求的最大值；(2)设实数，求函数在上的最小值.解（1）令得当时，，在上为增函数用心爱心专心当时，，在上为减函数（2），由（2）知：在上单调递增，在上单调递减．在上的最小值当时，当时，例2、已知（1）求函数在上的最小值（2）对一切的恒成立，求实数a的取值范围（3）证明对一切，都有成立解，即时，，（2），则设，则，单调递增，，，单调递减，因为对一切，恒成立，（3）问题等价于证明，，由（1）可知，的最小值为，当且仅当x=时取得设，，则，易得。当且仅当x=1时取得从而对一切，都有成立变式1：已知函数f(x)=ln2(1+x)-.(1)求函数的单调区间;用心爱心专心（2）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值.解:（1）函数的定义域是，设则令则当时，在（-1，0）上为增函数，当x＞0时，在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数.于是当时，当x＞0时，所以，当时，在（-1，0）上为增函数.当x＞0时，在上为减函数.故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.（2）不等式等价于不等式由知，设则由（Ⅰ）知，即所以于是G(x)在上为减函数.故函数G（x）在上的最小值为用心爱心专心所以a的最大值为变式2：若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，为自然对数的底数)．（1）求的极值；（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．(1)，．当时，．当时，，此时函数递减；当时，，此时函数递增；∴当时，取极小值，其极小值为．(2)由（1）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．…………………………8分设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．由，可得当时恒成立．，由，得．下面证明当时恒成立．令，则，当时，．当时，，此时函数递增；当时，，此时函数递减；∴当时，取极大值，其极大值为．用心爱心专心从而，即恒...
