高三数学二轮复习 高考大题分层练 1 三角、数列、概率统计、立体几何(A组) 理 新人教版-新人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

高考大题分层练1.三角、数列、概率统计、立体几何(A组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.已知向量a=(cosx+sinx,2sinx),b=(cosx-sinx,cosx),令f(x)=a·b.(1)求f(x)的最小正周期.(2)当x∈时,求f(x)的最小值以及取得最小值时x的值.【解析】f(x)=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=sin.(1)由最小正周期公式得:T==π.(2)x∈,则2x+∈,令2x+=,则x=,所以当x=时,函数f(x)取得最小值-.2.已知{an}为等差数列,且满足a1+a3=8,a2+a4=12.(1)求数列{an}的通项公式.(2)记{an}的前n项和为Sn,若a3,ak+1,Sk成等比数列,求正整数k的值.【解析】(1)设数列{an}的公差为d,由题意知解得a1=2,d=2,所以an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,即an=2n.(2)由(1)得Sn===n(1+n)=n2+n,所以a3=2×3=6,ak+1=2(k+1)=2k+2,Sk=k2+k,因为a3,ak+1,Sk成等比数列,所以=a3Sk,从而(2k+2)2=6(k2+k),即k2-k-2=0,k∈N*,解得k=2或k=-1(舍去),所以k=2.3.甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求：(1)摸出3个白球的概率.(2)摸出至少两个白球的概率.(3)若将摸出至少有两个白球记为1分，则一个人不放回地摸2次，求得分X的分布列及数学期望.【解析】设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i=0，1，2，3)，(1)由题意得P(A3)=·=.(2)设“摸出至少两个白球”为事件B，则B=A2∪A3，又P(A2)=·+=，且A2，A3互斥，所以P(B)=P(A2)+P(A3)=+=.(3)X的所有可能取值为0，1，2.P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，所以X的分布列是X012PX的数学期望E(X)=0×+1×+2×=.4.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点.(1)证明：AG⊥平面ABCD.(2)若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG的长.【解析】(1)因为AE=AF，点G是EF的中点，所以AG⊥EF.又因为EF∥AD，所以AG⊥AD.因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，AG⊂平面ADEF，所以AG⊥平面ABCD.(2)因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG，AD，AB两两垂直.以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，4，0)，设AG=t(t>0)，则E(0，1，t)，F(0，-1，t)，所以=(-4，-1，t)，=(4，4，0)，=(0，1，t).设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，由·n=0，·n=0，得令z=1，得n=(t，-t，1).因为BF与平面ACE所成角的正弦值为，所以|cos<·n>|==，即=，解得t2=1或t2=.所以AG=1或AG=.