两类易混淆的函数问题：对称性与周期性例1.已知函数满足，问：是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例2.已知函数满足，问：是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？这两个问题的已知条件形似而质异。有的同学往往把它们混为一谈，从而得出错误的结论。为了准确地回答上述问题，必须掌握以下基本定理。定理1：如果函数满足，那么的图像关于直线对称。证明：设点是的图像上任一点，点P关于直线的对称点为Q，易知，点Q的坐标为。因为点在的图像上，所以于是所以点也在的图像上。由P点的任意性知，的图像关于直线对称。定理2：如果函数满足，那么的图像关于直线的对称。证明：（略）（证明同定理1）定理3：如果函数满足，那么是以2a为周期的周期函数。证明：令，则代入已知条件得：根据周期函数的定义知，是以为周期的周期函数。用心爱心专心定理4：如果函数满足，那么是以为周期的周期函数。证明：（略）（证法同定理3）由以上的定理可知，在已知条件或中，等式两端的两自变量部分相加得常数，如，说明的图像具有对称性，其对称轴为。等式两端的两自变量部分相减得常数，如，说明是周期函数，其周期。容易证明：定理1、2、3、4的逆命题也是成立的。牢牢掌握以上规律，则例1、例2迎刃而解。例1中，，因此的图像关于直线对称。由这个已知条件我们不能判定是周期函数。例2中，，因此是周期函数，其周期。由这个已知条件我们不能判定它是轴对称图形。例3.若函数对于任意实数t均有，那么（）A.B.C.D.解析：在中所以抛物线的对称轴为作示意图如图1，可见，应选A。用心爱心专心图1例4.设是定义在R上的奇函数，且，给出下列四个结论：①；②是以4为周期的函数；③的图像关于直线对称；④其中所有正确命题的序号是___________。解析1：（1）因为是奇函数，所以令，得所以又已知令，得所以故①成立。（2）因为，所以由（两自变量相减得常数）所以是以4为周期的周期函数。故②成立。（3）由得：（两自变量相加得常数）所以的图像关于直线对称。而不是关于直线对称。用心爱心专心故③是错误的。（4）由（2）知，应满足而所以故④成立。综上所述，应填①②④。解析2：根据题设条件，构造出函数的图像如图2。图2由图可见，①②④正确，而③不正确。例5.函数的图像关于直线对称，则___________。解析：因为函数的图像关于直线对称所以有（定理1的逆定理）（与题设矛盾，舍去）或所以。例6.设是R上的奇函数，又的图像关于直线对称。问函数是不是周期函数？如果是，求出它的一个周期。解：因为的图像关于直线对称用心爱心专心由定理1的逆定理知：用代换上式中的x，得：再用代换x，得：再用代换x，得：又为奇函数，即由<1><2>得：即根据周期函数的定义，是周期函数，且是它的一个周期。用心爱心专心
