高三数学专题二(函数与导数)第一讲:函数性质(一)典型例题讲解:例1.若恒大于0,求实数a的取值范围.解：令,则,由题意得在时恒成立,可变为…………（1）当时上面不等式（1）显然成立,当时,因为,所以不等式（1）可变为,令,则(当且仅当时取等号)因此a的取值范围是.例2．设a是正数，ax+y=2(x≥0,y≥0)，记y+3x－x2的最大值是M(a)，试求：（1）M(a)的表达式；（2）M(a)的最小值。解将代数式y+3x－x2表示为一个字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立关于x的二次函数，逐步进行分类求M(a)。（1）设S(x)=y+3x－x2,将y=2－ax代入消去y，得：S(x)=2－ax+3x－x2=－x2+(3－a)x+2=－[x－(3－a)]2+(3－a)2+2(x≥0) y≥0∴2－ax≥0而a>0∴0≤x≤下面分三种情况求M(a)(i)当0<3－a<(a>0)，即时解得0
0)即时，解得：1≤a≤2，这时M(a)=S()=2－a·+3·－·=－+(iii)当3－a≤0，即a≥3时，M(a)=S(0)=2综上所述得：M（a）=（2）下面分情况探讨M(a)的最小值。当02当1≤a≤2时，M(a)=－+=－2(－)2+ 1≤a≤2≤≤1，∴当=时，M(a)取小值，即M(a)≥M（2）=当a≥3时，M(a)=2经过比较上述各类中M(a)的最小者，可得M(a)的最小值是2。注：解题经验的积累，有利于解题思路的挖掘，对参数a的分类，完全依据二次函数顶点的横坐标3－a是否在定义域区间[0，]内，这样就引出三种状态，找出解题的方案。例3已知函数f(x)的定义域为R，且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2－x),f(x+7)=f(7－x)（1）若f(5)=9,求：f(－5);（2）已知x∈[2,7]时，f(x)=(x－2)2，求当x∈[16,20]时，函数g(x)=2x－f(x)的表达式，并求出g(x)的最大值和最小值；（3）若f(x)=0的一根是0，记f(x)=0在区间[－1000,1000]上的根数为N，求N的最小值。解（1）由f(x+2)=f(2－x)及f(x+7)=f(7－x)得:f(x)的图像关于直线x=2,x=7对称。∴f(x)=f[(x－2)+2]=f[2－(x－2)]=f(4－x)=f[7－(3+x)]=f(7+(3+x))=f(x+10)∴f(x)是以10为周期的周期函数。∴f(－5)=f(－5+10)=f(5)=9（2）当x∈[16,17],x－10∈[6,7]，∴f(x)=f(x－10)=(x－10－2)2=(x－12)2当x∈(17,20,x－20∈(－3,0,4－(x－20)∈[4,7，∴f(x)=f(x－20)=f[4－(x－20)]=f(24－x)=(x－22)2∴g(x)= x∈[16,17]时，g(x)最大值为16，最小值为9；x∈（17，20，g(x)>g(17)=9,g(x)≤g(20)=36∴g(x)的最大值为36，最小值为9。（3）由f(0)=0，及f(0)=f(4)=0，知f(0)在上至少有两个解。而在[－1000，1000上有200个周期，至少有400个解。又f(1000)=0，所以最少有401个解。且这401个解的和为－200。注：题中（2）可根据函数图像的对称性、函数的周期性，通过作图得到f(x)=一般地：当x∈[－3，2]时，4－x∈[2,7]，∴f(x)=f(4－x)=(x－2)2∴当x∈[－3,7],f(x)=(x－2)2，故当x∈[－3+10k,7+10k],x－10k∈[－3,7]，∴f(x)=(x－10k－2)2(k∈z)∴f(x)=(x－10k－2)2x∈[－3+10k,7+10k],（k∈Z）例4．已知定义在R上的函数满足：（1）值域为，且当时，；（2）对于定义域内任意的实数，均满足：1fmfnfmnfmfn.试回答下列问题：（Ⅰ）试求的值；（Ⅱ）判断并证明函数fx的单调性；（Ⅲ）若函数fx存在反函数，求证：．解：（Ⅰ）在中，令，则有．即：．也即：．由于函数的值域为，所以，，所以．（Ⅱ）函数的单调性必然涉及到，于是，由已知，我们可以联想到：是否有？（＊）这个问题实际上是：是否成立？为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系．由于，所以，在中，令，得．所以，函数为奇函数．故（＊）式成立．所以，．任取，且，则，故且．所以，，所以，函数在R上单调递减．（Ⅲ）由于函数在R上单调递减，所以，函数必存在反函数，由原函数与反函数的关系可知：也为奇函数；在上单调递减；且当时，．为了证明本题，需要考虑的关系式．在（＊）式的两端，同时用作用，得：，令，则，则上式可改写为：．不难验证：对于任意的，上式都成立．（根据一一对应）．这样，我们就得到了的关系式．这个式子给我们以提示：即可以将写成的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端．事实上，由于，所以，．所以，(...
