不等式的证明一周强化一、一周知识概述本周学习不等式的证明方法，不等式的证明方法很多也和灵活，本讲中我们将学习比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法、反证法等几种常见的证明方法。二、重点知识归纳及讲解不等式的证明的常用方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本方法。1、比较法证明不等式比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用。比较法在其它问题的求解与讨论中也经常用到，例如证明函数的单调性，因此高考对它的要求，是将它与其它数学问题结合在一起进行考查，比较法有作差比较法和作商比较法两种形式。（1）作差比较法：其理论依据是实数的大小性质和不等式的基本性质；即a>ba-b>0，ab>1，ab>c，求证：a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2分析：左－右=ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)，当a>b>c时，前两项为正，最后一项为负，如何使得三项之和为正，成为问题的关键，需采用“拆”的技巧，把第三项并入前两项中去，于是想到ca(c－a)=ca[(c－b)＋(b－a)]问题便迎刃而解.用心爱心专心点评：恰当地“分拆”与“组合”是最常用的技巧，主要用于作差变形后的因式分解.（2）已知a，b均为正实数，且(a－b)(m－n)>0，求证ambn>anbm.分析：由于所比较的两式均为单项式，且为正值，故可作商与1比较，其中要用到指数函数性质，并由题意条件，得出a－b与m－n同号，再分类讨论。解：由(a－b)(m－n)>0得：①当a>b>0时，>1，m－n>0，∴有()n－m>1，∴ambn>anbm.②当b>a>0时，0<<1，m－n<0，∴有()m－n>1，∴ambn>anbm.点评：当所比较的两式均为多项式时，常用作差法与“0”比较；当所比较的两式均为单项式（或乘积）时，常用作商法，有的问题两种方法均可，作商比较法应注意除数应为正值；作差（商）比较法证明不等式过程中的“差式”或“商”式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论。2、综合法证明不等式综合法是指从已证不等式或问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。在使用综合证明不等式时，要注意基本不等式的应用。用综合法证不等式所依赖的已知不等式主要是重要不等式，要掌握重要不等式及其变形形式，一般说来，当问题条用心爱心专心件中信息量较大，易于推理或要证不等式与重要不等式相关较明显，常用综合法证不等式。例2、设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是前n项和，求证：分析：由对数的运算性质和对数函数的单调性可知，只需证明，因此只需由数列知识分别表示出即易得证。解：由题设知，设数列{an}的公比为q，，点评：此题虽然是用综合法叙述的，其中是用分析法思考的，并且用到作差比较法来操作的，由此证明不等式常常是几种方法结合起来运用，效果更好。3、分析法证明不等式分析法是指从要证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，不断地用充分条件替换前面的不等式，进而寻找并判断所需条件是否具备或者所寻找的充分条件是否与已知条件相吻合，其特点和思想是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明不等式要把握三点：（1）寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分；（2）分析法的叙述较繁琐，且不易看懂，往往要用分析法探寻思路，用综合法叙述证明过程，有时解题时，需一用心爱心专心边分析，一边综合，也就是两头凑，会使问题较易解决；（3）一般地，如果已知条件信息量较小，或已知与特征间的直接联系不明显，条...
