第100-102课时：第十三章导数——导数的应用(3)课题：导数的应用3：切线与速度的问题(3课时)一．用导数求曲线的切线函数fx在0x处导数的几何意义，就是曲线yfx在点00,xfx处切线的斜率，也就是说，曲线yfx在点00,Pxfx处切线的斜率是0fx。于是相应的切线方程是：000yyfxxx。利用上述结论，可以求解曲线的切线以及相关的问题。用求导法求曲线的切线的斜率是行之有效的方法，它不仅适用于二次曲线，对于任何可导函数都适用。如果要求的切线过某点，一定要注意验证这点是否在曲线上。如果这点在曲线上，可直接通过求这点的导数（斜率）来求切线方程，如果这点在曲线之外，一般需设切点，求出这点的导数，然后通过解方程组来确定切点最后根据两点式确定切线方程。二．用导数求瞬时速度物体在时刻0t时的瞬时速度0V就是物体运动规律Sft在0tt时的导数0ft，即有00Vft。利用导数的这个物理意义，可以帮助我们获得按规律运动的物体的瞬时速度。三．范例分析例1．求过抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上一点P（x0，y0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。分析：为求斜率，先求导函数：y'=2ax+b，故切线方程为y－y0=(2ax0+b)(x－x0)即y=(2ax0+b)x－ax20+c，亦即y=(2ax0+b)x－ax20+c.抛物线焦点：F（2ba,244acba），它关于切线的对称点之横坐标当x0，说明从焦点发出的光线射到（x0，y0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。解：显然，y0=ax20+bx0+cy'=2ax+b故在P点处切线斜率为2ax0+b，切线方程y－(ax20+bx0+c)=(2ax0+b)(x－x0)，亦即y=(2ax0+b)x－ax20+c.用心爱心专心1由于y=ax2+bx+c按向量=24,24bacbaa平移即得到y=ax2，只须证明过其上一点（x0，ax20）的切线l：y=2ax0x－ax20满足：焦点关于l的对称点为（m，n）.当x0≠0时0200114214222namaxnmaaxax，消去n.知m=x0.当x0=0时，切线为y=0，F之对称点横坐标显然是0，故从焦点发出的光线射到（x0，ax20）后被抛物面反射后的方程为x=x0（与对称轴平行）；反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点.例2．求函数y=x4+x－2图象上的点到直线y=x－4的距离的最小值及相应点的坐标.分析：首先由424yxxyx得x4+2=0知，两曲线无交点.y'=4x3+1，切线要与已知直线平行，须4x3+1=1，x=0.故切点：（0,－2）一般地，当直线l与y=f(x)的图像无交点时，与l平行的切线与l间距离应为图像上点到l的距离的最值，以最小值为例（如图）与l平行的直线若与曲y=f(x)相交，（A为一交点），则l'与l间必存在y=f(x)上的点C，显然，C点到l的距离小于l与l'间的距离，亦即A到l的距离.当然，我的也可用参数直接考虑：设(x0，x40+x0－2)为y=f(x)图象上任意一点，它到l的距离44000024222222xxxxd，故距离最小距离为2上述等号当且仅当x0=0时取得，故相应点坐标为（0，2）。解：y'=4x3+1，令4x3+1=1，x=0.由此知过曲线上点（0，－2）的切线方程y=x+2与已知直线平行，它到已知直线距离最近，为2422d.例3．已知一直线l经过原点且与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求直线l的方程。用心爱心专心2分析：设切点为（x0，y0），则y0＝x03－3x02＋2x0，由于直线l经过原点，故等式的两边同除以x0即得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率，便可建立关于x0的方程。在两边同除以x0时，要注意对x0是否为0进行讨论。解：设直线l：y＝kx。 y'＝3x2－6x＋2，∴y'|x=0＝2，又 直线与曲线均过原点，于是直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2相切于原点时，k＝2。若直线与曲线切于点(x0，y0)(x0≠0)，则k＝00xy， y0＝x03－3x02＋2x0，∴00xy=x02－3x0＋2，又 k＝y'|0xx＝3x02－6x0＋2，∴x02－3x0＋2＝3x02－6x0＋2，∴2x02－3x0＝0， x0≠0，∴x0＝23，∴k＝x02－3x0＋2＝－41，故直线l的方程为y＝2x或y＝－41x。例4．已知曲线3:xyC及其上一点)1,...
