高三数学集合、映射与函数、函数的解析式与定义域、函数的值域知识精讲(一)集合1.集合的概念及集合中元素的三个特征:一组对象的全体形成一个集合,集合里的各个对象叫做集合的元素,集合的元素具有三个特征:(1)确定性:对于一个给定的集合,任何一个对象或者是这个集合中的元素,或者不是它的元素,这是集合的最基本特征。(2)互异性:集合中的任何两个元素都是能区分的(即互不相同的)相同的对象归入任何一个集合时,只能算作这个集合中的一个元素。(3)无序性:在一个集合中通常不考虑它的元素之间的顺序,也就是说,由a、b两个元素组成的集合与由{}ba,两个元素组成的集合是相同的。元素与集合,集合与集合的关系:元素与集合的关系是从属关系,用符号“”与“”表示,集合与集合的关系是包含关系,用符号“”、“”或“”、“”表示。2.集合的运算:(1)并集:ABxxAxB|或性质:AAAABBAAAAABBAB,,,,(2)交集:ABxxAxB|,且性质:ABBAAAAAABAABB,,,,(3)全集与补集:全集用字母I表示,补集:AxxIxA|且性质:AIII,,3.几个重要结论:(1)ABABABAB,(2)ABABAABBABABAB()或(3)由n个元素组成的集合,其子集个数为2n,即是CCCCnnnnnn0122…。(4)空集是一个特殊的集合,是任何集合的子集,在解题中要注意对空集的讨论。(5)进行集合运算时,要注意发挥数轴、韦恩图的作用,通过数形结合直观地解决问题。(二)映射与函数1.映射:一般地,设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合A到集合B的映射,记作fAB:。如果给定一个从集合A到集合B的映射,那么和A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的像,a叫做b的原像。2.函数:(1)定义:函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射,由此可知,函数是一种特殊的映射Www.chinaedu.com0001期版权所有不得复制1fAB:,必须满足A、B都是非空数集,其像的集合是B的子集。(2)函数的三要素:定义域、对应法则和值域(3)函数的表示法:解析法、列表法、图像法(4)常用函数:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。(5)两个函数为同一函数的条件:构成函数的三要素中,定义域和对应法则相同,则值域一定相同。所以,两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时,才是相同的函数。三个要素相同的两个函数定有相同的图像,但三要素中至少有一项不同的两个函数,它们的图像也不同。(6)分段函数:若函数在定义域的不同子集上对应法则不同,可用几个式子来表示函数,这种形式的函数叫分段函数。处理分段函数的问题,除了要用到分类讨论的思想外,还要注意其中整体和局部的关系。(7)复合函数:若y是u的函数,u又是x的函数,即yfuugxxabumn()()(,)(,),,,。那么y关于x的函数yfgxxab[()](,),,叫做f和g的复合函数,u叫做中间变量,u的取值范围是g(x)的值域,对于复合函数的考查,一般是考查其单调区间的判断。(三)函数的解析式与定义域1.函数的解析式:函数的解析式是函数的表示方法中最常用的一种,它是用一个等式表示定义域与值域之间的对应关系,与所取的字母无关。如yx312与yt312为同一函数。2.函数的定义域:定义域是自变量x的取值范围,它是函数的一个不可缺少的组成部分,定义域不同而解析式相同的函数,应看作两个不同的函数。在中学阶段,所研究的函数通常都是能够用解析式表示的,如未加特别说明,函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合,求函数的定义域的主要依据是:(1)由函数解析式求定义域,此时,求定义域的主要依据是:(a)分式的分母不能为零;(b)偶次方根的被开方数不小于零;(c)对数函数的真数必须大于零;(d)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;(e)三角函数中的正切函数ytgxxRxkkz()且,2,余...