高三数学集合、映射与函数、函数的解析式与定义域、函数的值域知识精讲（一）集合1.集合的概念及集合中元素的三个特征：一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素，集合的元素具有三个特征：（1）确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象或者是这个集合中的元素，或者不是它的元素，这是集合的最基本特征。（2）互异性：集合中的任何两个元素都是能区分的（即互不相同的）相同的对象归入任何一个集合时，只能算作这个集合中的一个元素。（3）无序性：在一个集合中通常不考虑它的元素之间的顺序，也就是说，由a、b两个元素组成的集合与由{}ba，两个元素组成的集合是相同的。元素与集合，集合与集合的关系：元素与集合的关系是从属关系，用符号“”与“”表示，集合与集合的关系是包含关系，用符号“”、“”或“”、“”表示。2.集合的运算：（1）并集：ABxxAxB|或性质：AAAABBAAAAABBAB，，，，（2）交集：ABxxAxB|，且性质：ABBAAAAAABAABB，，，，（3）全集与补集：全集用字母I表示，补集：AxxIxA|且性质：AIII，，3.几个重要结论：（1）ABABABAB，（2）ABABAABBABABAB()或（3）由n个元素组成的集合，其子集个数为2n，即是CCCCnnnnnn0122…。（4）空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解题中要注意对空集的讨论。（5）进行集合运算时，要注意发挥数轴、韦恩图的作用，通过数形结合直观地解决问题。（二）映射与函数1.映射：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作fAB：。如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么和A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的像，a叫做b的原像。2.函数：（1）定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射，由此可知，函数是一种特殊的映射Www.chinaedu.com0001期版权所有不得复制1fAB：，必须满足A、B都是非空数集，其像的集合是B的子集。（2）函数的三要素：定义域、对应法则和值域（3）函数的表示法：解析法、列表法、图像法（4）常用函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。（5）两个函数为同一函数的条件：构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同。所以，两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同的函数。三个要素相同的两个函数定有相同的图像，但三要素中至少有一项不同的两个函数，它们的图像也不同。（6）分段函数：若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数。处理分段函数的问题，除了要用到分类讨论的思想外，还要注意其中整体和局部的关系。（7）复合函数：若y是u的函数，u又是x的函数，即yfuugxxabumn()()(,)(,)，，，。那么y关于x的函数yfgxxab[()](,)，，叫做f和g的复合函数，u叫做中间变量，u的取值范围是g(x)的值域，对于复合函数的考查，一般是考查其单调区间的判断。（三）函数的解析式与定义域1.函数的解析式：函数的解析式是函数的表示方法中最常用的一种，它是用一个等式表示定义域与值域之间的对应关系，与所取的字母无关。如yx312与yt312为同一函数。2.函数的定义域：定义域是自变量x的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作两个不同的函数。在中学阶段，所研究的函数通常都是能够用解析式表示的，如未加特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合，求函数的定义域的主要依据是：（1）由函数解析式求定义域，此时，求定义域的主要依据是：（a）分式的分母不能为零；（b）偶次方根的被开方数不小于零；（c）对数函数的真数必须大于零；（d）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；（e）三角函数中的正切函数ytgxxRxkkz()且，2，余...
