第33练平面向量的数量积训练目标(1)平面向量数量积的概念；(2)数量积的应用．训练题型(1)向量数量积的运算；(2)求向量的夹角；(3)求向量的模．解题策略(1)数量积计算的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义；(2)求两向量的夹角时，要注意夹角θ为锐角和cosθ>0的区别，不能漏解或增解；(3)求向量的模的基本思想是利用|a|2＝a·a，灵活运用数量积的运算律.一、选择题1．(2016·玉溪月考)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D.2．(2017·淄博月考)已知矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，则AC·DB等于()A．1B．－1C.D．23．已知平面上A，B，C三点不共线，O是不同于A，B，C的任意一点，若(OB－OC)·(AB＋AC)＝0，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形4．(2015·安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥BC5．已知向量a，b，c满足|a|＝2，|b|＝a·b＝3，若(c－2a)·(c－b)＝0，则|b－c|的最小值是()A．2－B．2＋C．1D．26．(2016·太原五中模拟)已知△DEF的外接圆的圆心为O，半径R＝4，如果OD＋DE＋DF＝0，且|OD|＝|DF|，则向量EF在FD方向上的投影为()A．6B．－6C．2D．－27．(2016·延边期中)点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式：①OA＋OB＋OC＝0；②OA·OB＝OB·OC＝OC·OA；③OA·＝OB·；④(OA＋OB)·AB＝(OB＋OC)·BC＝0.则点O依次为△ABC的()A．内心、外心、重心、垂心B．重心、外心、内心、垂心C．重心、垂心、内心、外心D．外心、内心、垂心、重心8．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若AE·AF＝1，CE·CF＝－，则λ＋μ等于()A.B.C.D.二、填空题9．(2016·高安段考)已知向量a，b满足a＋b＝(5，－10)，a－b＝(3,6)，则b在a方向上的投影为________．10．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．11．(2016·开封冲刺模拟)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足CM＝CB＋CA，则MA·MB＝________.12．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，当2x＋y＝t(t>0)时，|xAB＋yAC|≥t恒成立，则△ABC的面积为______，在上述条件下，对于△ABC内一点P，PA·(PB＋PC)的最小值是________.答案精析1．C[由题意，得a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0，∴1＋cos〈a，b〉＝0，解得cos〈a，b〉＝－.再由〈a，b〉∈[0，π]，可得〈a，b〉＝.]2．A[方法一如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，C(，1)，D(0,1)，∴AC＝(，1)，DB＝(，－1)，则AC·DB＝2－1＝1.方法二记AB＝a，AD＝b，则a·b＝0， |a|＝，|b|＝1，∴AC·DB＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝2－1＝1.故选A.]3．A[(OB－OC)·(AB＋AC)＝0⇔CB·(AB＋AC)＝0⇔CB⊥(AB＋AC)，所以△ABC是等腰三角形，故选A.]4．D[如图，在△ABC中，由BC＝AC－AB＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a＋b)·BC＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥BC，故选D.]5．A[由题意得，〈a，b〉＝，故如图所示建立平面直角坐标系，设a＝(1，)，b＝(3,0)，c＝(x，y)，∴(c－2a)·(c－b)＝0⇒(x－2)2＋y(y－2)＝0⇒(x－2)2＋(y－)2＝3，其几何意义为以点(2，)为圆心，为半径的圆，故其到点(3,0)的距离的最小值是2－，故选A.]6．B[由OD＋DE＋DF＝0得，DO＝DE＋DF.∴DO经过边EF的中点，∴DO⊥EF.连接OF， |OF|＝|OD|＝|DF|＝4，∴△DOF为等边三角形，∴∠ODF＝60°.∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin60°×2＝4.∴向量EF在FD方向上的投影为|EF|cos〈EF，FD〉＝4cos150°＝－6，故选B.]7．C[由三角形“五心”的定义，我们可得：①当OA＋OB＋OC＝0时，O为△ABC的重心；②当OA·OB＝OB·OC＝OC·OA时，O为△ABC的垂心；③当OA·＝OB·时，O为△ABC的内心；④当(OA＋OB)·AB＝(OB＋OC)·BC＝0时，O为△ABC的外心．故选C.]8．C[建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(0，－)，C(1,0)，D(0，)．设E(x1，y1)，F(x2，y2)．由BE＝λBC，...
