第19练导数的极值与最值训练目标(1)函数极值、最值的概念、求法；(2)函数极值、最值的应用．训练题型(1)求函数的极值；(2)求函数的最值；(3)恒成立问题；(4)零点问题．解题策略(1)f′(x)＝0是函数f(x)存在极值点的必要条件，f(x)的极值可用列表法求解；(2)利用最值研究恒成立问题，可分离参数后构造函数，转化为函数的最值问题；(3)零点问题可借助于函数的图象解决.一、选择题1．设函数f(x)＝x3－x＋m的极大值为1，则函数f(x)的极小值为()A．－B．－1C.D．12．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是()3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为()A．－B．－2C．－2或－D．2或－4．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间内单调递增；②函数y＝f(x)在区间内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．则上述判断中正确的是()A．①②B．②③C．③④⑤D．③5．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′(x)，f′(x)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为()A．1B．2C．－1D．－26．(2016·河北保定一中模拟)已知f(x)＝ax3，g(x)＝9x2＋3x－1，当x∈[1,2]时，f(x)≥g(x)恒成立，则a的取值范围为()A．a≥11B．a≤11C．a≥D．a≤7．(2016·唐山一模)直线y＝a分别与曲线y＝2(x＋1)，y＝x＋lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为()A．3B．2C.D.8．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B．(0，)C．(0,1)D．(0，＋∞)二、填空题9．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________________．10．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________________．11．(2017·郑州调研)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．12．(2015·四川)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题:①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m>0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n>0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.其中真命题有________．(写出所有真命题的序号)答案精析1．A[求导可得f′(x)＝x2－1，由f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝1，又因为函数在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在x＝－1处取得极大值，且f(－1)＝1，即m＝，函数f(x)在x＝1处取得极小值，且f(1)＝×13－1＋＝－，故选A.]2．D[因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)·(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，又因为x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)>0，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.]3．A[由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即解得或经检验满足题意，故＝－.]4．D[当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，①错；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，②错；当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，③正确；当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值，④错；当x＝－时，函数y＝f(x)无极值，⑤错．故选D.]5．B[ f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b>0.由题意知，∴ac≥，∴c>0，∴＝≥≥＝2，当且仅当a＝c时“＝”成立．]6．A[f(x)≥g(x)恒成立，即ax3≥9x2＋3x－1. x∈[1,2]，∴a≥＋－.令＝t，则当t∈[，1]时，a≥9t＋3t2－t3.令h(t)＝9t＋3t2－t3，则h′(t)＝9＋6t－3t2＝－3(t－1)2＋12.∴h′(t)在[，1]上是增函数．∴h′(x)min＝h′()＝－＋12>0.∴h(t)在[，1]上是增函数．∴a≥h(1)＝11，故选A.]7．D[令2(x＋1)＝a，解得x＝－1.设方程x＋lnx＝a的根为t(x>0，t>0)，即t＋lnt＝a，则|AB|＝|t－＋1|＝|t－＋1|＝|－＋1|.设g(t)＝－＋1(t>0)，则g′(t)＝－＝，令g′(t)＝0，得t...
