第18练用导数研究函数的单调性训练目标(1)函数的单调性与导数的关系；(2)函数单调性的应用．训练题型(1)求函数单调区间；(2)利用函数单调性求参数值；(3)利用函数单调性比较函数值大小．解题策略(1)函数的单调性可通过解不等式f′(x)>0或f′(x)<0判断；(2)若f(x)在区间D上是增函数，则f′(x)≥0在D上恒成立；(3)已知条件中含f(x)的不等式，可构造函数，利用单调性求解.一、选择题1．函数f(x)＝lnx－x2的单调减区间是()A．(－∞，]B．(0，]C．[1，＋∞)D．[，＋∞)2．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()3．“a>1”是“函数f(x)＝ax＋cosx在R上单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是()A.B.C.D.5．(2016·临沂月考)已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0
0)，(1)若函数f(x)的单调递减区间是(0,4)，则实数k的值为____________；(2)若在(0,4)上为减函数，则实数k的取值范围是____________．7．已知函数y＝－x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是________________．8．(2016·兰州一模)若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______________________．9．已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax，若g(x)＝，对任意x1∈[，2]，存在x2∈[，2]，使f′(x1)≤g(x2)成立，则实数a的取值范围是______________．三、解答题10．已知函数f(x)＝lnx－，g(x)＝f(x)＋ax－6lnx，其中a∈R.(1)当a＝1时，判断函数f(x)的单调性；(2)若g(x)在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围．答案精析1．D[由题意知，函数f(x)＝lnx－x2的定义域为(0，＋∞)，求导可得f′(x)＝－2x＝，令f′(x)＝≤0，可得x≥.故选D.]2．B[在(－1,0)上，f′(x)单调递增，所以f(x)图象的切线斜率呈递增趋势；在(0,1)上，f′(x)单调递减，所以f(x)图象的切线斜率呈递减趋势，故选B.]3．A[若函数f(x)＝ax＋cosx在R上单调递增，则f′(x)＝a－sinx≥0在R上恒成立，∴a≥sinx，∵－1≤sinx≤1，∴a≥1，则“a>1”是“函数f(x)＝ax＋cosx在R上单调递增”的充分不必要条件，故选A.]4．C[f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意知当x∈[－1,1]时，f′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立．令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，则有即解得a≥.]5．A[因为xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，所以′＝≤≤0，则函数在(0，＋∞)上单调递减．由于00，故03.8．(－∞，2ln2－2]解析因为f(x)＝x2－ex－ax，所以f′(x)＝2x－ex－a，因为函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，所以f′(x)＝2x－ex－a≥0，即a≤2x－ex有解，设g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，解得x＝ln2，则当x0，g(x)单调递增，当x>ln2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以当x＝ln2时，g(x)取得最大值，g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2，所以a≤2ln2－2.9．(－∞，－8]解析求导可得f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1⇒f′(x)在[，2]上是增函数⇒f′(x)max＝f′(2)＝8＋a，由g(x)＝在[，2]上是减函数⇒g(x)max＝g()＝，又原命题等价于f′(x)max≤g(x)max⇒8＋a≤⇒a∈(－∞，－8]．10．解(1)由f(x)＝lnx－得定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，当a＝1时，f′(x)＝>0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)由已知得，g′(x)＝，因为g(x)在其定义域内为增函数，所以∀x∈(0，＋∞)，g′(x)≥0，即ax2－5x＋a≥0，即a≥，而≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a≥.
