高三数学 直线与圆锥曲线的位置关系 知识精讲 通用版VIP免费

高三数学直线与圆锥曲线的位置关系知识精讲通用版【本讲主要内容】直线与圆锥曲线的位置关系直线与椭圆的位置关系、直线与双曲线的位置关系、直线与抛物线的位置关系【知识掌握】【知识点精析】1.直线与椭圆的位置关系：（1）位置关系：（2）判定方法：将直线的方程与椭圆的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程。若方程有两个不同解（），则直线与椭圆相交；若方程有一个解（），则直线与椭圆相切；若方程无解（），则直线与椭圆相离。2.直线与双曲线的位置关系：（1）位置关系：①相交：直线与双曲线有两个交点或有一个公共点（直线与渐近线平行）。②相切：直线与双曲线有且只有一个公共点，且直线不平行于双曲线的渐近线。③相离：直线与双曲线无公共点。（2）判定方法：用直线的方程与双曲线的方程联立的方程组的解的个数描述直线与双曲线的位置关系如下：①方程有一组解直线与双曲线相切或相交（一个公共点）；②方程组有二组解直线与双曲线相交（两个交点交于一支或二支）；③方程组无解直线与双曲线相离。3.直线与抛物线的位置关系：（1）位置关系：①相交：直线与抛物线交于两个不同点，或直线与抛物线的对称轴平行与抛物线交于一个点。②相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，且直线不平行于抛物线的对称轴。③相离：直线与抛物线无公共点。（2）判定方法：把直线的方程与抛物线的方程联立起来得到一个方程组，于是①方程组有一组解直线与抛物线相交或相切（一个公共点）；②方程组有两组解直线与抛物线相交（两个公共点）；③方程组无解直线与抛物线相离。4.“设而不求”、韦达定理和弦长公式：（1）“设而不求”的方法：若直线与圆锥曲线有两个交点和，一般地，首先设出交点坐标，其中有四个参数，它们的作用，只是过渡性符号，通常是不需要求出的，但有利于用韦达定理等解决问题，是直线与圆锥曲线关系中的常用方法。用心爱心专心116号编辑（2）韦达定理和弦长公式：斜率为的直线被圆锥曲线截得弦，若两点的坐标分别为，则，利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理，或不存在时不用公式，直接求解。说明：①在研究直线与圆锥曲线的关系时，如果直线的斜率未定，不要忽略斜率不存在的情况。研究直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点等问题时，首先应保证相交，即。与弦的中点有关问题求解常用方法一般是韦达定理法，但以定点为中点的弦所在直线的方程、弦中点轨迹及弦的中垂线问题用点差法更为方便。②在判断位置关系时应注意数形结合思想的运用。③解答存在型探索性问题一般有两种方法：一是反证法，即先假设某数学对象存在，然后据此推理或计算，直至得到存在的依据或导出矛盾，从而肯定或否定假设；二是假设验证法，即在假设某数学对象存在的前提下，有特例探索可能的对象，作出猜想，然后加以论证。【解题方法指导】例1.已知直线与曲线恰有一个公共点，求实数的值。解析：联立方程，⑴当时，此方程组恰有一组解为；⑵当时，消去，得。若，即，方程变为一元一次方程，，方程组恰有一组解；若，即，令，得，可解得，这时直线与曲线相切，只有一个公共点。综上所述，若时，直线与曲线只有一个公共点。评述：对于开放的曲线，仅是一个公共点的充分但并不必要的条件。本题用代数方法求解完后，应从几何上验证一下：当时，曲线变为直线，此时与已知直线恰有一个交点；当时，直线与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点（代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零）；当时，直线与抛物线相切。用心爱心专心116号编辑例2.过点作抛物线的弦，恰被所平分，求所在直线的方程。解析：解法一：设以为中点的弦端点坐标为，则有，，两式相减，得。又，则，∴所求直线的方程为，即解法二：设弦所在直线的方程为，由，消去，整理，得。设，由韦达定理得。又 是中点，∴，∴，∴，∴弦所在直线的方程为评述：有关弦中点轨迹、中点弦所在直线的方程，中点坐标的问题，有时采用“点差法”，可优化解题方法，简化运算。例3.试确定的取值范围，使得椭圆上有不同两点关于直线对称。解析：设椭圆上两点的中点为 关于对称，∴。又，两式相减得，∴，而点在直线上，∴ ...