第4讲基本不等式【2015年高考会这样考】1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题．2．考查应用基本不等式解决实际问题．【复习指导】1．突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练．2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养．基础梳理1．基本不等式：---------------------(1)基本不等式成立的条件：--------------------------(2)等号成立的条件：当且仅当-----------------时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)≥2(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥(a，b＞0)逆用就是ab≤2(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形(1)≥2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；(2)≥≥≥(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．双基自测1．函数y＝x＋(x＞0)的值域为()．A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B．(0，＋∞)1C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②≤2；③x2＋≥1，其中正确的个数是()．A．0B．1C．2D．33．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()．A.B．1C．2D．44．若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()．A．1＋B．1＋C．3D．45．已知t＞0，则函数y＝的最小值为________．考向一利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；(2)当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________．利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．【训练1】(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋的最小值为________．(2)已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为________．(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．考向二利用基本不等式解决恒成立问题【例3】若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．[2当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．【训练3】已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．考向三利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？[审题视点]用长度x表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x≤5；函数取最小值时的x是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．【训练3】东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并...
