4直线和平面的平行4.1直线与平面平行的定义【例1】已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若，则n∥α；③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；④若m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，则n∥α.其中正确的命题有_．【解析】对于①，m有可能也在α上，因此命题不成立；对于②，过直线n作垂直于m的平面β，由，可知β与α平行，于是必有n与α平行，因此命题成立；对于③，由条件易知m平行于β或在β上，n平行于α或在α上，因此必有m⊥n；对于④，取正方体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的两个面即可判断命题不成立．综上可知②③正确．答案：②③【评注】一条直线和一个平面没有公共点，称这条线与已知平面平行．4.2直线与平面平行的判定【例2】下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（）A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】在①中，若的中点为，可得，故平面；在④中，，故平面．选B．【评注】平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，其推理模式：．【变式1】两个平面相互平行，则其中一个平面内的直线平行于另外一个平面，其推理模式：．如图，在三棱锥ABCS中，平面SAB平面SBC，BCAB，ABAS，过A作SBAF，垂足为F，点GE，分别是棱SCSA，的中点,点在棱上。求证：平面ABC.【解析】,EG分别是侧棱,SASC的中点，EGAC∥，AC在平面ABC中，EG在平面外，EG∥平面ABC，1ACBSFGE,ASABAFSB⊥，F为SB中点，EFAB∥，AB在平面ABC中，EF在平面外，EF∥平面ABCEF与EG相交于E，且,EFEG在平面EFG中，平面平面ABC，因为平面，故平面ABC.4.3直线与平面平行的性质【例3】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.【解析】因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C与平面ABCD的交线为AC，所以EF∥AC。又点E为AD的中点，所以EF为△DAC的中位线，所以EF＝AC.因为AB＝2，ABCD为正方形，所以AC＝2，EF＝。故填.【评注】如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，其推理模式：．【变式1】直线与平面平行的判定与性质的综合应用如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，平面，，，过作一平面分别交，于点，，求证：．【证明】：因为，平面，平面，所以平面．又平面，平面平面，所以．【变式2】利用线面平行的条件确定点的位置如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．线段上是否存在点，使//平面？若存在，求出；若不存在，说明理由．【解析】存在点，且时，有//平面.2EADCB证明如下:连接，交于点,，当时，，在中，，平面平面，所以平面.3EADCBFH
