DOABCPDOBCAPxyz专题五：立体几何（向量方法）知识精要1．证明两条直线平行，只需证明这两条直线上的向量共线（即成倍数关系）．证明两条直线平行，只需证明这两条直线上的向量的数量积等于零．2．通过法向量，把线面、面面的角转化为线线的角．从而可以利用公式求解．3．建立空间直角坐标系．例题1如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．(Ⅰ)求证∥平面；(Ⅱ)求直线与平面PBC所成角的大小．解答A1B1C1D1FEDCBAA1B1C1D1FEDCBAxzy．练习1如图，已知长方体，，直线与平面所成的角为，垂直于为的中点．（Ⅰ）求异面直线与所成的角；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角（锐角）的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离奎屯王新敞新疆解答在长方体中，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图．由已知，可得．又平面，从面与平面所成的角即为又奎屯王新敞新疆从而易得奎屯王新敞新疆（Ⅰ）奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆即异面直线、所成的角为奎屯王新敞新疆（Ⅱ）易知平面的一个法向量奎屯王新敞新疆设是平面的一个法向量．奎屯王新敞新疆由奎屯王新敞新疆取奎屯王新敞新疆∴奎屯王新敞新疆即平面与平面所成二面角（锐角）大小为奎屯王新敞新疆（Ⅲ）点A到平面BDF的距离，即在平面BDF的法向量上的投影的绝对值奎屯王新敞新疆所以距离奎屯王新敞新疆所以点A到平面BDF的距离为奎屯王新敞新疆例题2如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2奎屯王新敞新疆（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小．解答（I）证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1．所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB．故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，）．图1ABCDO1O图2BCDAO1O图3BCDAyxO1OzC1B1A1ABCDEC1B1A1ABCDxzy从而所以AC⊥BO1．（II）解：因为所以BO1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量．设是0平面O1AC的一个法向量，由得．设二面角O—AC—O1的大小为，由、的方向可知，>，所以COS，>=即二面角O—AC—O1的大小是练习2如图,在直三棱柱中，，点为的中点奎屯王新敞新疆(Ⅰ)求证；(Ⅱ)求证；(Ⅲ)求异面直线与所成角的余弦值奎屯王新敞新疆解答 直三棱锥底面三边长，两两垂直奎屯王新敞新疆如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)(Ⅰ),奎屯王新敞新疆(Ⅱ)设与的交点为E，则E(0,2,2)奎屯王新敞新疆(Ⅲ)∴异面直线与所成角的余弦值为奎屯王新敞新疆例题3在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求SINA．解答以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点A位于第一象限奎屯王新敞新疆由，则，设=（x，0），则，由条件得，从而x=2，（舍去），故．于是奎屯王新敞新疆∴奎屯王新敞新疆练习3在平面上给定，对于平面上的一点P，建立如下的变换的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为，，求证只有一个不动点（指与重合的点）．解答：依提意，有，且，，要使与重合，应，得，对于给定的，满足条件的不动点P只有一个．例题4如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC．ABCDPEABCDPxzyEFGC1B1ABCA1E已知求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；（Ⅱ）二面角E—PC—D的大小．解答（Ⅰ）以D为原点，、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．由已知可得D（0，0，0），P（0，0，，C（0，2，0）设由，即由，又PD⊥DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得，故异面直线PD、CE的距离为1．（Ⅱ）作DG⊥PC，可设G（0，Y，Z）．由得,即作EF⊥PC于F，设F（0，M，N），则由，又由F在PC上得因故平面E—PC—D的平面角的大小为向量的夹角．故即二面角E—PC—D的大小为练习4如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，∠BCC1=，求：C1B1ABCA1Exzy（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；（Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值．解...
