第四章第四节二倍角的正弦、余弦、正切题组一三角函数求值1.已知α(0∈，π)，sinα＋cosα＝，则tanα等于()A.B.－C.－或－D.－解析：∵sinα＋cosα＝，∴1＋2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝－.∴22sincossincos＝－，∴2tantan1＝－，∴tanα＝－或tanα＝－，∵sinαcosα＝－＜0，∴α∈(，π).又sinα＋cosα＝＞0，故α∈(，)，∴tanα＜－1，∴tanα＝－.答案：D2.若cos2sin()4＝－，则cosα＋sinα的值为()A.－B.－C.D.解析：cos2sin()4＝22cossinsincoscossin44＝(cossin)(cossin)2(cossin)2＝cossin22＝－，故cosα＋sinα＝.答案：C3.在△ABC中，已知cos(＋A)＝，则cos2A的值为.解析：cos(＋A)＝coscosA－sinsinA＝(cosA－sinA)＝，∴cosA－sinA＝＞0.①∴0＜A＜，∴0＜2A＜①2得1－sin2A＝，∴sin2A＝.∴cos2A＝21sin2A＝.答案：4.已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x.1(1)求f()的值；(2)设α(0∈，π)，f()＝，求sinα的值.解：(1)∵f(x)＝sin2x＋cos2x，∴f()＝sin＋cos＝1.(2)∵f()＝sinα＋cosα＝.∴sin(α＋)＝，cos(α＋)＝±.sinα＝sin(α＋－)＝×－(±)×＝.∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.故sinα＝.题组二三角函数式的化简与证明5.函数y＝2cos2x的一个单调递增区间是()A.(－，)B.(0，)C.(，)D.(，π)解析：函数y＝2cos2x＝1＋cos2x，它的一个单调递增区间是(，π).答案：D6.化简222cos12tansin44aaa等于()A.1B.－1C.cosαD.－sinα解析：原式＝2cos22sin4sin4cos4aaaa＝cos22sincos44＝cos2sin22＝1.答案：A7.(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)的值是()A.2B.4C.8D.16解析：∵1＝tan45°＝tan(21°＋24°)＝tan21tan24,1tan21tan24∴1－tan21°tan24°＝tan21°＋tan24°，即tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1，∴(1＋tan21°)(1＋tan24°)2＝tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＋1＝2，同理(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝2，∴(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)＝2×2＝4.答案：B8.求证：tan2x＋21tanx＝2(3cos4)1cos4xx.证明：左边＝22sincosxx＋22cossinxx＝4422sincossincosxxxx＝222222(sincos)2sincos1sin24xxxxx＝2211sin221sin24xx＝211sin221(1cos4)8xx＝284sin21cos4xx＝244cos21cos4xx＝42(1cos4)1cos4xx＝2(3cos4)1cos4xx＝右边.∴tan2x＋21tanx＝2(3cos4)1cos4xx.题组三公式的综合应用9.若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是()A.(，)B.(，π)C.(，)D.(，)解析：sinα＞cosα，即sinα－cosα＞0，即2sin(α－)＞0，即sin(α－)＞0.又0≤α≤2π，故－≤α－≤.综上，0＜α－＜π，即＜α＜.答案：C10.已知sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围是.解析：法一：设x＝cosαsinβ，则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＋x，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－x.∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，313111,,22211311,.222xxxx≤≤≤≤≤≤≤≤∴－≤x≤.法二：设x＝cosαsinβ，sinαcosβcosαsinβ＝x.即sin2αsin2β＝2x.由|sin2αsin2β|≤1，得|2x|≤1，∴－≤x≤.答案：[－，]11.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)一个周期的图象如图所示.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若f(α)＋f(α－)＝，且α为△ABC的一个内角，求sinα＋cosα的值.解：(1)从图知，函数的最大值为1，则A＝1.函数f(x)的周期为T＝4×(＋)＝π.而T＝，则ω＝2.又x＝－时，y＝0，∴sin[2×(－)＋φ]＝0.而－＜φ＜，则φ＝，∴函数f(x)的表达式为f(x)＝sin(2x＋).(2)由f(α)＋f(α－)＝，得sin(2α＋)＋sin(2α－)＝，即2sin2αcos＝，∴2sinαcosα＝.∴(sinα＋cosα)2＝1＋＝.∵2sinαcosα＝＞0，α为△ABC的内角，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα＋cosα＞0.∴sinα＋cosα＝.4
