第四章第三节两角和与差的正弦、余弦、正切题组一三角函数的化简、求值1.2cos10sin20sin70的值是()A.B.C.D.解析：原式＝2cos(3020)sin20sin70＝2(cos30cos20sin30sin20)sin20sin70＝3cos20cos20＝.答案：C2.tan(－θ)＋tan(＋θ)＋tan(－θ)tan(＋θ)的值是()A.B.C.2D.解析：∵tan＝tan[(－θ)＋(＋θ)]＝tan()tan()661tan()tan()66∴－tan(－θ)tan(＋θ)＝tan(－θ)＋tan(＋θ)即tan(－θ)＋tan(＋θ)＋tan(－θ)tan(＋θ)＝.答案：A3.若sincossincosaaaa＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝.解析：∵sincossincosaaaa＝tan1tan1aa＝3，故tanα＝2.又tan(α－β)＝2，故tan(β－α)＝－2.∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan()tan1tan()tan＝.答案：1题组二给值求值问题4.sin(－x)＝，则sin2x的值为()A.B.C.D.解析：∵sin(－x)＝，∴cosx－sinx＝(cosx－sinx)＝.∴cosx－sinx＝.∴(cosx－sinx)2＝1－sin2x＝，∴sin2x＝.答案：A5.已知α为钝角，且sin(α＋)＝，则cos(α＋)的值为()A.B.C.－D.解析：∵α为钝角，且sin(α＋)＝，∴cos(α＋)＝－，∴cos(α＋)＝cos[(α＋)＋]＝cos(α＋)cos－sin(α＋)sin＝(－)·－·＝－.答案：C6.(2008·天津高考)已知cos4x＝，x.∈(1)求sinx的值；(2)求sin23x的值.解：(1)因为x∈，所以x－∈，sin4x＝21cos4x＝.sinx＝sin[4x＋]＝sin(x－)cos＋cos(x－)sin＝×＋×＝.(2)因为x∈，故cosx＝－21sinx＝－＝－.sin2x＝2sinxcosx＝－，cos2x＝2cos2x－1＝－.2所以sin23x＝sin2xcos＋cos2xsin＝－.题组三给值求角问题7.已知A、B均为钝角，且sinA＝，sinB＝，则A＋B等于()A.B.C.或D.解析：由已知可得cosA＝－，cosB＝－，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝，又∵＜A＜π，＜B＜π，∴π＜A＋B＜2π，∴A＋B＝.答案：B8.在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C等于()A.30°B.150°C.30°或150°D.60°或120°解析：已知两式两边分别平方相加，得25＋24(sinAcosB＋cosAsinB)＝25＋24sin(A＋B)＝37，∴sin(A＋B)＝sinC＝，∴C＝30°或150°.当C＝150°时，A＋B＝30°，此时3sinA＋4cosB＜3sin30°＋4cos0°＝，这与3sinA＋4cosB＝6相矛盾，∴C＝30°.答案：A9.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点.已知A、B的横坐标分别为，.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值.解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝，cosβ＝.因α为锐角，故sinα＞0，从而sinα＝＝，同理可得sinβ＝.因此tanα＝7，tanβ＝.所以tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.又0＜α＜，0＜β＜，故0＜α＋2β＜，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝.题组四公式的综合应用10.已知向量a＝(sin(α＋),1)，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin(α＋)等于()A.－B.－3C.D.解析：a·b＝4sin(α＋)＋4cosα－＝2sinα＋6cosα－＝4sin(α＋)－＝0，∴sin(α＋)＝.∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－.答案：B11.已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值为.解析：∵cos(α－)＋sinα＝cosα＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－(sinα＋cosα)＝－.答案：－12.(文)已知点M(1＋cos2x,1)，N(1，sin2x＋a)(x∈R，a∈R，a是常数)，设y＝OM�·ON�(O为坐标原点).(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)，并求f(x)的最小正周期；(2)若x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值，并求f(x)在[0，]上的最小值.解：(1)依题意得：OM�＝(1＋cos2x,1)，ON�＝(1，sin2x＋a)，∴y＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝2sin(2x＋)＋1＋a.∴f(x)的最小正周期为π.(2)若x∈[0，]，则(2x＋)∈[，]，∴－≤sin(2x＋)≤1，此时ymax＝2＋1＋a＝4，∴a＝1，ymin＝－1＋1＋1＝1.(理)已知α、β为锐角，向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(，－).(1)若a·b＝，a·c＝，求角2β－α的值；(2)若a＝b＋c，求tanα的值.解：(1)∵a·b＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝，①a·c＝(cosα，sinα)·(，－)＝cosα－sinα＝，②又∵0＜α＜，0＜β＜，∴－＜α－β＜.由①得α－β＝±，由②得α＝.由α、β为锐角，∴β＝.从而2β－α＝π.4(2)由a＝b＋c可得1coscos,21sinsin,2③2＋④2得cosα－sinα＝，∴2sinαcosα＝.又∵2sinαcosα＝＝＝，∴3tan2α－8tanα＋3＝0.又∵α为锐角，∴tanα＞0，∴tanα＝＝＝.5①②
