第四章第二节同角三角函数的基本关系式及诱导公式题组一同角三角函数基本关系式的应用1.已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝()A.－B.C.±D.解析：由cos(α－π)＝－得，cosα＝，而α为第四象限角，∴sin(－2π＋α)＝sinα＝－21cosa＝－.答案：A2.已知α(∈，)，tan(α－7π)＝－，则sinα＋cosα的值为()A.±B.－C.D.－解析：tan(α－7π)＝tanα＝－，∴α∈(，π)，sinα＝，cosα＝－，∴sinα＋cosα＝－.答案：B3.已知tanθ＝2，则sin()cos()2sin()sin()2＝()A.2B.－2C.0D.解析：sin()cos()2sin()sin()2＝cos(cos)cossin＝2coscossin＝21tan＝＝－2.答案：B题组二化简问题4.(tanx＋1tanx)cos2x＝()A.tanxB.sinx1C.cosxD.1tanx解析：(tanx＋1tanx)cos2x＝(sincosxx＋cossinxx)cos2x＝22sincossincosxxxx·cos2x＝cossinxx＝1tanx.答案：D5.sin(π＋)sin(2π＋)sin(3π＋)…sin(2010π＋)的值等于.解析：原式＝(－)(－)…＝－.答案：－6.若sinθ＝，则cos()3cos[sin()1]2＋cos(2)3cos()sin()sin()22的值为.解析：原式＝coscos(cos1)＋coscoscoscos＝1cos1＋11cos＝221cos＝22sin＝6.答案：6题组三条件求值问题7.已知sin(α－)＝，则cos(＋α)＝()A.B.－C.D.－解析：∵cos(＋α)＝sin[－(＋α)]＝sin(－α)＝－sin(α－)＝－.答案：D8.已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg11cosA＝n，则lgsinA的值为()A.m＋1nB.m－nC.(m＋1n)D.(m－n)2解析：两式相减得lg(l＋cosA)－lg11cosA＝m－n⇒lg[(1＋cosA)(1－cosA)]＝m－n⇒lgsin2A＝m－n，∵A为锐角，∴sinA＞0，∴2lgsinA＝m－n，∴lgsinA＝2mn.答案：D9.已知f(α)＝3sin()cos(2)cos()2cos()sin()2aaaaa(1)化简f(α)；(2)若α为第三象限角，且cos(α－π)＝，求f(α)的值；(3)若α＝－π，求f(α)的值.解：(1)f(α)＝sincos(sin)sinsinaaaaa＝－cosα.(2)cos(∵α－π)＝－sinα＝，∴sinα＝－，又∵α为第三象限角，cos∴α＝－21sina＝－，∴f(α)＝.(3)∵－π＝－6×2π＋π∴f(－π)＝－cos(－π)＝－cos(－6×2π＋π)＝－cosπ＝－cos＝－.题组四公式的灵活应用10.已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零常数，若f(2009)＝－1，则f(2010)等于()A.－1B.0C.1D.2解析：法一：∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝－1，∴f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＝asinα＋bcosβ＝1.法二：f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＝asin[π＋(2009π＋α)]＋bcos[π＋(2009π＋β)]＝－asin(2009π＋α)－bcos(2009π＋β)3＝－f(2009)＝1.答案：C11.若f(cosx)＝cos3x，则f(sin30°)的值为.解析：∵f(cosx)＝cos3x，∴f(sin30°)＝f(cos60°)＝cos3×60°＝cos180°＝－1.答案：－112.是否存在角α，β，α(∈－，)，β(0∈，π)，使等式sin(3π－α)＝cos(－β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.解：假设存在角α，β满足条件，则sin2sin,3cos2cos.由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.∴sin2α＝，∴sinα＝±.∵α∈(－，)，∴α＝±.当α＝时，cosβ＝，∵0＜β＜π，∴β＝；当α＝－时，cosβ＝，∵0＜β＜π，∴β＝.此时①式不成立，故舍去.∴存在α＝，β＝满足条件.4
