第十章 第三节 二项式定理及应用VIP免费

第十章第三节二项式定理及应用题组一求展开式中的指定项和特定项1.(2009·重庆高考)(x2＋)8的展开式中x4的系数是()A．16B．70C．560D．1120解析：由二项展开式通项公式得Tr＋1＝C(x2)8－r()r＝2rCx16－3r.由16－3r＝4，r＝4，则x4的系数为24C＝1120.答案：D2．(x－31x)12的展开式中的常数项为()A．－1320B．1320C．－220D．220解析：展开式的通项是Tr＋1＝Cx12－r(－31x)r＝C(－1)rx12－，令12－＝0，得r＝9，故展开式的常数项是T10＝C(－1)9＝－220.答案：C3．(2009·湖南高考)在(1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，x的系数为________(用数字作答)．解析：C＋C＋C＝23－1＝7.答案：74．若6的二项展开式中x3的系数为，则a＝__________(用数字作答)．解析：通项Tr＋1＝C·a－rx12－3r，当12－3r＝3时，r＝3，所以系数为C·a－3＝，得a＝2.答案：2题组二求展开式中各项系数的和5.在＋n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，则中间项系数是()A．330B．462C．682D．792解析：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n－1＝1024，∴n＝11，∴展1开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C＝C＝462.答案：B6．(2009·江西高考)(1＋ax＋by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为()A．a＝2，b＝－1，n＝5B．a＝－2，b＝－1，n＝6C．a＝－1，b＝2，n＝6D．a＝1，b＝2，n＝5解析：不含x的项的系数的绝对值为(1＋|b|)n＝243＝35，不含y的项的系数的绝对值为(1＋|a|)n＝32＝25，∴n＝5，答案：D7．若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.(用数字作答)解析：由题设令x＝0得a0＝(－2)5＝－32，令x＝1得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝(1－2)5＝－1，故a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－(－32)＝31.答案：31题组三求展开式中系数最大项问题8.在312nxx的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为()A．－7B．7C．－28D．28解析：依题意，＋1＝5，∴n＝8.二项式为312xx8，易得常数项为C231x6＝7.答案：B9．(2010·佛山模拟33nxx的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则(1－x)n的展开式中系数最小的项的系数等于________．解析：展开式中，各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，由已知得2n＝64，所以n＝6，(1－x)6的展开式中，第四项的系数最小，为－C＝－20.答案：－2010．二项式(1＋sinx)n的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为，则x在(0,2π)内的值为________．2解析：由已知可得C＋C＝n＋1＝7，即得n＝6，二项式系数最大的一项为C·sin3x＝20sin3x＝，解得sinx＝，又x∈(0,2π)，∴x＝或.答案：或题组四二项式定理的综合应用11.若313nxx的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n的最小值是()A．3B．4C．10D．12解析：Tr＋1＝C(x)n－r(－312x)r＝C()n－r(－1)r(312)r·xn－r·x－＝C()n－r(－312)rxn－，令n－r＝0，得n＝r.∴n取最小值为4.答案：B12．令an为(1＋x)n＋1的展开式中含xn－1项的系数，则数列{}的前n项和为()A.B.C.D.解析：∵Tr＋1＝C·xr，∴an＝C＝C＝，＝，∴＝2＝2＝.答案：D13．已知(xcosθ＋1)5的展开式中x2的系数与(x＋)4的展开式中x3的系数相等，则cosθ＝__________.解析：(xcosθ＋1)5＝(1＋xcosθ)5，展开式中x2的系数为Ccos2θ.(x＋)4＝(＋x)4，展开式中x3的系数为C，由题意可知Ccos2θ＝C，∴cos2θ＝，∴cosθ＝±.答案：±314．关于二项式(x－1)2005，有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；②该二项展开式中第六项为Cx1999；③该二项展开式中系数最大的项是第1002项；④当x＝2006时，(x－1)2005除以2006的余数是2005.其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)解析：二项式(x－1)2005所有项的系数和为0，其常数项为－1，非常数项的系数和是1，即得①正确；二项展开式的第六项为－Cx2000，即得②错误；二项展开式中系数绝对值最大的项为C2005x1003＝Cx1003，－C2005x1002＝－Cx1002，得系数最大的项是第1003项C·x1003，即③错误；当x＝2006时，(x－1)2005除以2006的余数是2006－1＝2005，即④正确．答案：①④4