第十二章第二节直线与圆的位置关系1．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C是劣弧ACB上任一点，(点C不与A、B重合)，求∠ACB.解：连结OA、OB，过O作OE⊥AB，E为垂足，则AE＝BE.在Rt△AOE中，OA＝2，AE＝AB＝×2＝，∴sin∠AOE＝＝，∴∠AOE＝60°，∴∠AOB＝2∠AOE＝120°，在优弧上任取一点D(不与A、B重合)，∴∠ADB＝∠AOB＝60°，∴∠ACB＝180°－∠ADB＝120°.2．如图所示，已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．解：(1)证明：连结AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D.又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E.∴AD∥EC.(2)设BP＝x，PE＝y，∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12.①∵AD∥EC，∴＝⇒＝.②由①②可得或(舍去)∴DE＝9＋x＋y＝16.∵AD是⊙O2的切线，∴AD2＝DB·DE＝9×16.∴AD＝12.3．如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.1求证：∠DEA＝∠DFA.证明：连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°，又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A、D、E、F四点共圆．所以∠DEA＝∠DFA.4．如图，AB是圆O的直径，P为圆外一点，PB是圆O的切线，PA是圆O的割线且与圆O相交于点C.过点C作圆O的切线与PB交于D点．求证：(1)OD∥AP；(2)PD·PB＝PC·OD.证明：(1)连结OC，BC，在△OCD和△OBD中∠OCD＝∠OBD＝90°，OB＝OC，OD＝OD，∴△OCD≌△OBD，∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC.①又∠BOC与∠BAC分别是所对的圆心角和圆周角∴∠BOC＝∠BAC，②由①②得∠BOD＝∠BAC，∴OD∥AP.(2)∵PB2＝PC·PA，③由(1)知OD∥AP，O为AB中点，∴DO是△BPA的中位线，∴PA＝2OD，PB＝2PD，代入③得2PD·PB＝PC·2OD，即PD·PB＝PC·OD.5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，＝，过A点的切线交CB的延长线于E点．求证：AB2＝BE·CD.2证明：连结AC，因为EA切⊙O于A，所以∠EAB＝∠ACB.因为＝，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD.于是∠EAB＝∠ACD.又四边形ABCD内接于⊙O，所以∠ABE＝∠D.所以△ABE∽△CDA.于是＝，即AB·DA＝BE·CD.所以AB2＝BE·CD.6．如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，并交CD于E，交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC＝ED＝1，PA＝2.(1)求AC的长；(2)求证：EF＝BE.解：(1)∵PA2＝PC·PD，PA＝2，PC＝1，∴PD＝4，又∵PC＝ED＝1，∴CE＝2.∵∠PAC＝∠CBA，∠PCA＝∠CAB，∴△PAC∽△CBA，∴＝，∴AC2＝PC·AB，又∵AB∥CE，AC∥BE，∴四边形ABEC为平行四边形，∴AB＝CE＝2，∴AC＝.(2)证明：∵CE·ED＝BE·EF，BE＝AC＝.∴EF＝＝，∴EF＝BE.7．如图，△ABC是圆O的内接三角形，AC＝BC，D为圆O中上一点，延长DA至点E，使得CE＝CD.(1)求证：AE＝BD；(2)若AC⊥BC，求证：AD＋BD＝CD.证明：(1)在△ABC中，∠CAB＝∠CBA.在△ECD中，∠CED＝∠CDE.∵∠CBA＝∠CDE，∴∠ACB＝∠ECD.∴∠ACB－∠ACD＝∠ECD－∠ACD.∴∠ACE＝∠BCD.又CE＝CD，AC＝BC，3∴△ACE≌△BCD.∴AE＝BD.(2)若AC⊥BC，∵∠ACB＝∠ECD，∴∠ECD＝90°，∠CED＝∠CDE＝45°.∴DE＝CD.又∵AD＋BD＝AD＋EA＝ED，∴AD＋BD＝CD.8．如图，A、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长．解：设CB＝AD＝x，则由割线定理，得CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12，因为CA为直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD2＋DE2＝CE2，∴62＋DE2＝122，∴DE＝6.4
