第八章 第三节 空间向量在立体几何中的应用（09年9月最新更新）VIP免费

第三节空间向量在立体几何中的应用一、填空题1.若等边ABC的边长为23，平面内一点M满足1263CMCBCA�，则MAMB�_________2．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。【解析】设(0,,0)My由222141(3)1yy可得1y故(0,1,0)M【答案】(0,-1，0)二、解答题3.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=12AD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点。设，1AB依题意得，，，001B，，，011C，，，020D，，，110E，，，100F.21121M，，（I），，，解：101BF，，，110DE.2122100DEBFDEBFDEcos，于是BF所以异面直线BF与DE所成的角的大小为060.（II）证明：，，，由21121AM，，，101CE0AMCE020AD，可得，，，.AMDCEAADAM.ADCEAMCE.0ADCE平面，故又，因此，.CDEAMDCDECE平面，所以平面平面而用心爱心专心（III）.0D0)(CDEEuCEuzyxu，，则，，的法向量为解：设平面.111(1.00），，，可得令，于是uxzyzx又由题设，平面ACD的一个法向量为).100(，，v.3313100cosvuvuvu，所以，4．（本题满分15分）如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，,,EFO分别为PA，PB，AC的中点，16AC，10PAPC．（I）设G是OC的中点，证明：//FG平面BOE；（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),OABC(0,0,6),(0,4,3),PE4,0,3F，由题意得，0,4,0,G因(8,0,0),(0,4,3)OBOE�，因此平面BOE的法向量为(0,3,4)n，(4,4,3FG�得0nFG��，又直线FG不在平面BOE内，因此有//FG平面BOE6.（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。（I）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.用心爱心专心2则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得MN=(-1,1,2).又DA=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，可得cos(MN,DA)=36|||||DAMNDAMN·所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos36,DAMN·……6分(Ⅱ)假设直线ME与BN共面，……8分则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB//EN。又AB//CD//EF，所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。所以ME与BN不共面，它们是异面直线.……12分7.（13分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MDABCD平面，NBABCD平面，且MD=NB=1，E为BC的中点（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2）在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标Dxyz依题意，得1(0,0,0)(1,0,0)(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1),(,1,0)2DAMCBNE。1(,0,1),(1,0,1)2NEAM�10cos,10||||NEAMNEAMNEAM���，用心爱心专心所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为1010.A（2）假设在线段AN上存在点S，使得ES平面AMN.(0,1,1)AN�,可设(0,,),ASAN�又11(,1,0),(,1,)22EAESEAAS�.由ES平面AMN，得0,0,ESAMESAN��即10,2(1)0.故12，此时112(0,,),||222ASAS�.经检验，当22AS时，ES...