第五章第一节平面向量的概念及线性运算题组一向量的基本概念1.给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同．②若|a|＝|b|，则a＝b.③若AB�＝DC�，则四边形ABCD为平行四边形．④在▱ABCD中，一定有AB�＝DC�.⑤若m＝n，n＝p，则m＝p.⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.其中不正确的个数是()A．2B．3C．4D．5解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确．零向量与任一向量平行，故a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．正确的是③④⑤.答案：B2．下列四个命题，其中正确的个数有()①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na③若ma＝mb(m∈R)，则有a＝b④若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则有m＝nA．1个B．2个C．3个D．4个解析：只有③不正确， a≠b，m＝0时，ma＝mb也成立，其余①②④均成立．答案：C题组二向量的线性运算3.若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB�＋CD�＝BC�＋DA�；②AC�＋BD�＝BC�＋AD�；③AC�－BD�＝DC�＋AB�.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①式的等价式是AB�－BC�＝DA�－CD�，左边＝AB�＋CB�，右边＝DA�＋DC�，不一定相等；1②式的等价式是AC�－BC�＝AD�－BD�，AC�＋CB�＝AD�＋DB�＝AB�成立；③式的等价式是AC�－DC�＝AB�＋BD�，AD�＝AD�成立．答案：C4．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量CD�＝()A．－BC�＋BA�B．－BC�－BA�C．BC�－BA�D．BC�＋BA�解析：CD�＝CB�＋BD�＝BC�＋BA�.答案：A5．(2009·安徽高考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若AC�＝λAE�＋μAF�，其中，λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.解析：如图， ABCD为▱，且E、F分别为CD、BC中点．∴AC�＝AD�＋AB�＝(AE�－DE�)＋(AF�－BF�)＝(AE�＋AF�)－(DC�＋BC�)＝(AE�＋AF�)－AC�，∴AC�＝(AE�＋AF�)，∴λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.答案：6．如图，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC，AB的中点，已知AB�＝a，AD�＝b，CD�＝c，试用a，b，c表示BC�，MN�，DN�＋CN�.解：BC�＝BA�＋AD�＋DC�＝－a＋b＋c. MN�＝MD�＋DA�＋AN�，MN�＝MC�＋CB�＋BN�，∴2MN�＝MD�＋DA�＋AN�＋MC�＋CB�＋BN�＝DN�＋CB�＝－AD�＋CB�＝－b－(－a＋b＋c)＝a－2b－c，∴MN�＝a－b－c.DN�＋CN�＝DM�＋MN�＋CM�＋MN�2＝2MN�＝a－2b－c.题组三向量的共线问题7.(2009·湖南高考)对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由a＋b＝0知道a与b互为相反向量，从而a∥b，充分性成立.由a∥b知a＝λb.λ≠－1时，a＋b≠0，∴必要性不成立．答案：A8．设e1、e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e1、b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示另一组基向量a、b的线性组合，则e1＋e2＝________a＋________b.解析：设e1＋e2＝xa＋yb，即e1＋e2＝(x－y)e1＋(2x＋y)e2.∴∴x＝，y＝－.答案：－题组四向量线性运算的综合应用9.已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若OA�－4OB�＋3OC�＝0，则ABBC��＝()A.B.C．2D．3解析： OA�－4OB�＋3OC�＝0，∴(OA�－OA�)－3OB�＋3OC�＝0，即OA�－OB�＝3(OB�－OC�)，∴BA�＝3CB�，∴ABBC��＝3.答案：D10．非零不共线向量OA�、OB�，且2OP�＝xOA�＋yOB�，若PA�＝λAB�(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0解析：PA�＝λAB�，得OA�－OP�＝λ(OB�－OA�)，即OP�＝(1＋λ)OA�－λOB�.又2OP�＝xOA�＋yOB�，∴消去λ得x＋y＝2.答案：A11．(2009·湖南高考)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD�＝xAB�＋3yAC�，则x＝________，y＝________.解析：法一：以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，令AB＝2.则AB�＝(2,0)，AC�＝(0,2)，过D作DF⊥...
