第五章 第三节 等比数列VIP免费

第五章第三节等比数列题组一等比数列的基本运算1.各项都是正数的等比数列中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为()A.B.C.D.或解析：设{an}的公比为q， a1＋a2＝a3，∴a1＋a1q＝a1q2，即q2－q－1＝0，∴q＝，又 an＞0，∴q＞0，∴q＝，＝＝.答案：A2．(2009·浙江高考)设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.解析：a4＝a1()3＝a1，S4＝＝a1，∴＝15.答案：153．(2009·宁夏、海南高考)等比数列{an}的公比q＞0.已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.解析： an＋2＋an＋1＝6an，∴an·q2＋an·q＝6an(an≠0)，∴q2＋q－6＝0，∴q＝－3或q＝2. q＞0，∴q＝2，∴a1＝，a3＝2，a4＝4，∴S4＝＋1＋2＋4＝.答案：题组二等比数列的性质4.(2009·广东高考)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝()A.B.C.D．2解析： a3·a9＝2a＝a，∴＝.又a2＝1＝a1·，∴a1＝.答案：B5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3等于()A．1∶2B．2∶3C．3∶4D．1∶3解析： {an}为等比数列，∴S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，又 S6∶S3＝1∶2，∴S＝S3(S9－S3)，即S3＝S9，∴S9∶S3＝3∶4.1答案：C6．设等比数列{an}的公比q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．解析：当q＝1时，Sn＋1＝(n＋1)a1，Sn＝na1，Sn＋2＝(n＋2)a1，又因为a1≠0，所以Sn＋1，Sn，Sn＋2不可能成等差数列；当q≠1时，Sn＋1＝11(1)1naqq，Sn＝1(1)1naqq，Sn＋2＝21(1)1naqq， Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，可得qn＋2＋qn＋1＝2qn，解得q＝－2.答案：－2题组三等比数列的判断与证明7.若数列{an}满足＝p(p为正常数，n∈N+)，则称{an}为“等方比数列”．甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：数列{an}是等比数列则＝q，可得＝q2，则{an}为“等方比数列”．当{an}为“等方比数列”时，则＝p(p为正常数，n∈N+)，当n≥1时＝±，所以此数列{an}并不一定是等比数列．答案：B8．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．解：(1) a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.(2) a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N+)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)． S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题组四等比数列的综合应用9.(文)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()2A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C.(1－4－n)D.(1－2－n)解析： q3＝＝，∴q＝，a1＝4，数列{an·an＋1}是以8为首项，为公比的等比数列，不难得出答案为C.答案：C(理)在等比数列{an}中，an＞0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当＋＋…＋最大时，n的值等于()A．8B．9C．8或9D．17解析： a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a＋2a3a5＋a＝25，又an＞0，∴a3＋a5＝5，又q∈(0,1)，∴a3＞a5，而a3a5＝4，∴a3＝4，a5＝1，∴q＝，a1＝16，an＝16×()n－1＝25－n，bn＝log2an＝5－n，bn＋1－bn＝－1，∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴Sn＝，∴＝，∴当n≤8时，＞0；当n＝9时，＝0；当n＞9时，＜0，∴当n＝8或9时，＋＋…＋最大．答案：C10．(2009·浙江高考)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N＋，其中k是常数．(1)求a1及an；(2)若对于任意的m∈N＋，am，a2m，a4m成等比数列...