第二章 第11节 变化率与导数、导数的计算VIP免费

第二章第十一节变化率与导数、导数的计算题组一导数的概念及运算1.设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()A．e2B．eC.D．ln2解析：f′(x)＝x×＋1×lnx＝1＋lnx，由1＋lnx0＝2，知x0＝e.答案：B2．设f0(x)＝cosx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2010(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析： f1(x)＝(cosx)′＝－sinx，f2(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f3(x)＝(－cosx)′＝sinx，f4(x)＝(sinx)′＝cosx，…，由此可知fn(x)的值周期性重复出现，周期为4，故f2010(x)＝f2(x)＝－cosx.答案：D3．(2009·安徽高考)设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′(1)的取值范围是()A．[－2,2]B．[，]C．[，2]D．[，2]解析： f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)． θ∈[0，]，∴θ＋∈[，]．∴sin(θ＋)∈[，1]，∴f′(1)∈[，2]．答案：D4．设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx.解：由已知f′(x)＝[(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx]′＝[(ax＋b)sinx]′＋[(cx＋d)cosx]′＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)·(cosx)′＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx＝(a－cx－d)sinx＋(ax＋b＋c)cosx.又 f′(x)＝xcosx，∴必须有即解得a＝d＝1，b＝c＝0.题组二导数的几何意义5.(2009·辽宁高考)曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x－2B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3D．y＝－2x＋1解析：y′＝()′＝，∴k＝y′|x＝1＝－2.l：y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.1答案：D6．(2010·福建四地六校联考)下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是()A．f(x)＝exB．f(x)＝x3C．f(x)＝lnxD．f(x)＝sinx解析：设切点的横坐标为x1，x2则存在无数对互相垂直的切线，即f′(x1)·f′(x2)＝－1有无数对x1，x2使之成立对于A由f′(x)＝ex＞0，所以不存在f′(x1)·f′(x2)＝－1成立；对于B由于f′(x)＝3x2＞0，所以也不存在f′(x1)·f′(x2)＝－1成立；对于C由于f(x)＝lnx的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝＞0，对于Df′(x)＝cosx，∴f′(x1)·f′(x2)＝cosx1·cosx2，当x1＝2kπ，x2＝(2k＋1)π，k∈Z，f′(x1)·f′(x2)＝－1恒成立．答案：D7．(2009·宁夏、海南高考)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________________．解析：y′＝ex＋x·ex＋2，y′|x＝0＝3，∴切线方程为y－1＝3(x－0)，∴y＝3x＋1.答案：y＝3x＋18．(2009·福建高考)若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝2ax＋. f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)＝0有解，即2ax＋＝0有解，∴a＝－，∴a∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)9．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝320x＋1，2∴直线l的方程为y＝(320x＋1)(x－x0)＋30x＋x0－16，又 直线l过点(0,0)，∴0＝(320x＋1)(－x0)＋30x＋x0－16，整理得，30x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝＝300016xxx，又 k＝f′(x0)＝320x＋1，∴300016xxx＝320x＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3) 切线与直线y＝－＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝320x＋1＝4，∴x0＝±1，∴或切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.题组三导数的灵活应用10.下图中，有一个是函...