第九讲平面向量（一）【知识点精讲】1）向量的有关概念：①表示时别忘箭头，如：，等；②注意与数0、向量平行与直线平行的区别；2）向量的线性运算：①加法的三角形法则——向量首尾相接与平行四边形法则——两向量移到同一起点；相反向量——长度相等、方向相反；②的作图法：将、移到共同起点，连结、终点并指向被减向量终点的向量；③数乘λ——是向量，，λ的方向当时与同向，时与相反，时任意；④向量共线的条件——与非零向量共线有唯一实数，使=；⑤平面向量基本定理——在一平面内，不共线，则对该平面内任一，有唯一一对实数使；3）向量的数量积：①确定夹角θ时要平移到同一起点，00≤θ≤1800；②=，在方向上的投影：（注意OP是射影），要将公式变形进行相关计算；③非零向量，=0；④结合律、消去律不成立；4）向量的坐标运算：①坐标表示——=(x,y)，相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；②若，则，=(x1,y1)，；||=·=x12+y12,；③若，则，；④若，则，非零向量，；【例题选讲】例1判断下列各命题是否正确(1)若；(2)若，，则；(3)；(4)若，则；(5)若=0，则=或=；(6)四边形ABCD满足则为平行四边形；(7)++=0；解：只有（6）是对的，理由略．[点评]正确理解向量的有关概念及结论很重要．例2如图平行四边形AOBD的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,设．解：.[点评]根据向量的几何加减法则,能对图形中的向量进行互相表示．例3已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角的余弦值．解：由题意，，且与的夹角为，所以，，，，同理可得而，设为与的夹角，则．[点评]正确掌握并运用向量有关公式是解题的关键．例4平面内给定三个向量，回答下列问题：（1）求满足的实数m,n；（2）若，求实数k；（3）若满足，且，求解：（1）由题意得所以，得（2）；（3）由题意得得或．[点评]用坐标解决向量的相等、垂直与平行问题是平面向量的基础且重点的内容．例5已知中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1),BC边上的高为AD，求．解：设D(x,y)则，，得，所以[点评]用向量关系表示数学问题中的相关关系是本题的关键．【备选题】已知向量与的对应关系用表示．（1）证明：对于任意向量及常数m，n恒有成立；（2）设，求向量及的坐标；求使，（p，q为常数）的向量的坐标．解：（1）设，则，故，∴（2）由已知得=（1，1），=（0，－1）（3）设=（x，y），则，∴y=p，x=2p－q，即=（2P－q，p）．
