第三章 第二节 等差数列及其性质VIP免费

第三章第二节等差列数及其性质题组一等差数列的判定与证明1.设命题甲为“a，b，c成等差数列”，命题乙为“＋＝2”，那么()A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件解析：由＋＝2，可得a＋c＝2b，但a、b、c均为零时，a、b、c成等差数列，但＋≠2.答案：B2.(2010·大庆模拟)若“*”表示一种运算，且满足如下关系：(1)1*1=1；(2)（n+1）*1=3+(n*1)(n∈N*).则n*1＝()A.3n－2B.3n＋1C.3nD.3n－1解析：设an＝n*1，于是有a1＝1，an＋1＝3＋an，则数列{an}是等差数列，所以n*1＝an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2.答案：A3.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝12nna，证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)证明：由已知an＋1＝2an＋2n得bn＋1＝12nna＝222nnna＝12nna＋1＝bn＋1.又b1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.(2)由(1)知12nna＝n，即an＝n·2n－1.Sn＝1＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，两边乘以2得，2Sn＝2＋2×22＋…＋n×2n.两式相减得Sn＝－1－21－22－…－2n－1＋n·2n1＝－(2n－1)＋n·2n＝(n－1)2n＋1.题组二等差数列的基本运算4.(2009·福建高考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于()A.1B.C.2D.3解析： S3＝13()32aa＝6，而a3＝4，∴a1＝0，∴d＝312aa＝2.答案：C5.已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于.解析：由211513,6,3,415,aaaddaad∴an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝a2n＝6n，∴S5＝×5＝90.答案：906.已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝5，S6＝36.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝6n＋(－1)n－1λ·2an(λ为正整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有bn＋1＞bn成立.解：(1) 2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝5，S6＝36得，1125,61536adad解得a1＝1，d＝2.∴an＝2n－1.(2)由(1)知bn＝6n＋(－1)n－1·λ·22n－1，要使得对任意n∈N*都有bn＋1＞bn恒成立，∴bn＋1－bn＝6n＋1＋(－1)n·λ·22n＋1－6n－(－1)n－1·λ·22n－1＝5·6n－5λ·(－1)n－1·22n－1＞0恒成立，即λ·(－1)n－1＜()n.2当n为奇数时，即λ＜2·()n，而()n的最小值为，∴λ＜3.当n为偶数时，λ＞－2()n，而－2()n的最大值为－，∴λ＞－.由上式可得－＜λ＜3，而λ为正整数，∴λ＝1或λ＝2.题组三等差数列的性质7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A.63B.45C.36D.27解析：由{an}是等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6成等差数列.由2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45.答案：B8.在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{an}的前13项的和S13＝.解析： log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝23＝8.∴S13＝11313()2aa＝5913()2aa＝＝52.答案：529.(2009·辽宁高考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝.解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由6S5－5S3＝5，得6(a1＋3d)＝2，所以a4＝.答案：题组四等差数列的前n项和及最值问题10.设数列{an}是等差数列，且a4＝－4，a9＝4，Sn是数列{an}的前n项和，则()A.S5＜S6B.S5＝S6C.S7＝S5D.S7＝S6解析：因为a4＝－4，a9＝4，所以a4＋a9＝0，即a6＋a7＝0，所以S7＝S5＋a6＋a7＝S5.答案：C11.(文)在等差数列{an}中，若a1<0，S9＝S12，则当n等于时，Sn取得最小值.解析：设数列{an}的公差为d，则由题意得9a1＋×9×(9－1)d＝12a1＋×12×(12－1)d，即3a1＝－30d，∴a1＝－10d. a1<0，∴d>0.3∴Sn＝na1＋n(n－1)d＝dn2－dn＝2－.∴Sn有最小值，又n∈N*，∴n＝10，或n＝11时，Sn取最小值.答案：10或11(理)若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝an·an＋1·an＋2(n∈N*)，{bn}的前n项和用Sn表示，若{an}满足3a5＝8a12＞0，则当n等于时，Sn取得最大值.解析：(先判断数列{an}中正的项与负的项) 3a5＝8a12＞0，∴3a5＝8(a5＋7d)＞0，解得a5＝...