第七章 第四节 曲线与方程VIP专享VIP免费

第七章第四节曲线与方程题组一直接法或定义法求轨迹方程1.若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：由题意知，点P到点(2,0)的距离与P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线．答案：D2．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MNMPMNNP�＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：MN�＝4，MP�＝，MN�·MP�＝4(x－2)，∴4＋4(x－2)＝0，∴y2＝－8x.答案：B3．如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)，又显然|MO|>|FO|，∴点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．答案：A题组二代入法(相关点法)求轨迹方程4.已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是()A．y＝2x2B．y＝8x21C．2y＝8x2－1D．2y＝8x2＋1解析：设AP的中点M(x，y)，P(x0，y0)，则有x0＝2x，y0＝2y＋1，代入2x－y0＝0，得2y＝8x2－1.答案：C5．设动点P是抛物线y＝2x2＋1上任意一点，定点A(0，－1)，点M分PA�所成的比为2∶1，则点M的轨迹方程是__________________．解析：设M为(x，y)． M分PA�为2，A为(0，－1)，∴P为(3x,3y＋2)． P为y＝2x2＋1上一点，∴3y＋2＝2×9x2＋1＝18x2＋1，∴y＝6x2－.答案：y＝6x2－6．从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，则线段QN的中点P的轨迹方程为__________．解析：设P(x，y)，Q(x1，y1)，则N(2x－x1,2y－y1)， N在直线x＋y＝2上，∴2x－x1＋2y－y1＝2①又 PQ垂直于直线x＋y＝2，∴＝1，即x－y＋y1－x1＝0.②由①②得又 Q在双曲线x2－y2＝1上，∴x－y＝1.∴(x＋y－1)2－(x＋y－1)2＝1.整理，得2x2－2y2－2x＋2y－1＝0即为中点P的轨迹方程．答案：2x2－2y2－2x＋2y－1＝0题组三参数法求轨迹方程7.平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC�＝λ1OA�＋λ2OB�(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线解析：设C(x，y)，则OC�＝(x，y)，OA�＝(3,1)，OB�＝(－1,3)， OC�＝λ1OA�＋λ2OB�，∴，又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．答案：A8．(2009·盐城模拟)已知点P(x，y)对应的复数z满足|z|＝1，则点Q(x＋y，xy)的轨迹是()A．圆B．抛物线的一部分C．椭圆D．双曲线的一部分解析：由题意知x2＋y2＝1，∴(x＋y)2－2xy＝1.令x＋y＝m，xy＝n，则有m2－2n＝1，∴m2＝2n＋1.又 2|xy|≤x2＋y2＝1，∴－≤n≤.2∴点Q的轨迹是抛物线的一部分．答案：B9．设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A、B两点，O是坐标原点，点P满足OP�＝(OA�＋OB�)，当l绕点M旋转时，动点P的轨迹方程为__________．解析：直线l过点M(0,1)，设其斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由题设可得点A、B的坐标(x1，y1)、(x2，y2)是方程组的解，将①代入②并化简得，(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，所以于是OP�＝(OA�＋OB�)＝＝.设点P的坐标为(x，y)，则消去参数k得4x2＋y2－y＝0.③当k不存在时，A、B中点为坐标原点(0,0)，也满足方程③，所以点P的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.答案：4x2＋y2－y＝0题组四曲线和方程的综合问题10.设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是()A．圆B．两条平行直线C．抛物线D．双曲线解析：设P(1，t)、Q(x，y)，由题意|OP|＝|OQ|，∴x2＋y2＝1＋t2.①又OP�·OQ�＝0，∴x＋ty＝0.∴t＝－，y≠0.②把②代入①，得(x2＋y2)(y2－1)＝0，即y＝±1.答案：B11．已知圆C的方程为x2＋y2＝4.(1)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程；(2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQ�＝OM�＋ON�，求动点Q...