第七章第四节曲线与方程题组一直接法或定义法求轨迹方程1.若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:由题意知,点P到点(2,0)的距离与P到直线x=-2的距离相等,由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点,以直线x=-2为准线的抛物线.答案:D2.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|MNMPMNNP�=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x解析:MN�=4,MP�=,MN�·MP�=4(x-2),∴4+4(x-2)=0,∴y2=-8x.答案:B3.如图,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆解析:由题意知,CD是线段MF的垂直平分线.∴|MP|=|PF|,∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|(定值),又显然|MO|>|FO|,∴点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆.答案:A题组二代入法(相关点法)求轨迹方程4.已知动点P在曲线2x2-y=0上移动,则点A(0,-1)与点P连线中点的轨迹方程是()A.y=2x2B.y=8x21C.2y=8x2-1D.2y=8x2+1解析:设AP的中点M(x,y),P(x0,y0),则有x0=2x,y0=2y+1,代入2x-y0=0,得2y=8x2-1.答案:C5.设动点P是抛物线y=2x2+1上任意一点,定点A(0,-1),点M分PA�所成的比为2∶1,则点M的轨迹方程是__________________.解析:设M为(x,y). M分PA�为2,A为(0,-1),∴P为(3x,3y+2). P为y=2x2+1上一点,∴3y+2=2×9x2+1=18x2+1,∴y=6x2-.答案:y=6x2-6.从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,则线段QN的中点P的轨迹方程为__________.解析:设P(x,y),Q(x1,y1),则N(2x-x1,2y-y1), N在直线x+y=2上,∴2x-x1+2y-y1=2①又 PQ垂直于直线x+y=2,∴=1,即x-y+y1-x1=0.②由①②得又 Q在双曲线x2-y2=1上,∴x-y=1.∴(x+y-1)2-(x+y-1)2=1.整理,得2x2-2y2-2x+2y-1=0即为中点P的轨迹方程.答案:2x2-2y2-2x+2y-1=0题组三参数法求轨迹方程7.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC�=λ1OA�+λ2OB�(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是()A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析:设C(x,y),则OC�=(x,y),OA�=(3,1),OB�=(-1,3), OC�=λ1OA�+λ2OB�,∴,又λ1+λ2=1,∴x+2y-5=0,表示一条直线.答案:A8.(2009·盐城模拟)已知点P(x,y)对应的复数z满足|z|=1,则点Q(x+y,xy)的轨迹是()A.圆B.抛物线的一部分C.椭圆D.双曲线的一部分解析:由题意知x2+y2=1,∴(x+y)2-2xy=1.令x+y=m,xy=n,则有m2-2n=1,∴m2=2n+1.又 2|xy|≤x2+y2=1,∴-≤n≤.2∴点Q的轨迹是抛物线的一部分.答案:B9.设椭圆方程为x2+=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A、B两点,O是坐标原点,点P满足OP�=(OA�+OB�),当l绕点M旋转时,动点P的轨迹方程为__________.解析:直线l过点M(0,1),设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1.设A(x1,y1)、B(x2,y2),由题设可得点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)是方程组的解,将①代入②并化简得,(4+k2)x2+2kx-3=0,所以于是OP�=(OA�+OB�)==.设点P的坐标为(x,y),则消去参数k得4x2+y2-y=0.③当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.答案:4x2+y2-y=0题组四曲线和方程的综合问题10.设动点P在直线x=1上,O为坐标原点,以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ,则动点Q的轨迹是()A.圆B.两条平行直线C.抛物线D.双曲线解析:设P(1,t)、Q(x,y),由题意|OP|=|OQ|,∴x2+y2=1+t2.①又OP�·OQ�=0,∴x+ty=0.∴t=-,y≠0.②把②代入①,得(x2+y2)(y2-1)=0,即y=±1.答案:B11.已知圆C的方程为x2+y2=4.(1)直线l过点P(1,2),且与圆C交于A、B两点,若|AB|=2,求直线l的方程;(2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m,设m与y轴的交点为N,若向量OQ�=OM�+ON�,求动点Q...