第七章 第六节 空间向量及其运算VIP专享VIP免费

第七章第六节空间向量及其运算（理）题组一空间向量的线性运算1.如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点，则(AB�＋BC�＋CD�)化简的结果为()A．BF�B．EH�C．HG�D．FG�解析：(AB�＋BC�＋CD�)＝(AC�＋CD�)＝AD�＝·2HG�＝HG�.答案：C2．如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若AB�＝a，11AD�＝b，1AA�＝c，则下列向量中与1BM�相等的向量是()A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，1BM�＝1BB�＋BM�＝c＋BD�＝c＋(AD�－AB�)＝－a＋b＋c.答案：A题组二空间中的共线、共面问题3.A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点是否共面________(共面或不共面)．解析：AB�＝(3,4,5)，AC�＝(1,2,2)，AD�＝(9,14,16)，设AD�＝xAB�＋yAC�.即(9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)，∴从而A、B、C、D四点共面．答案：共面4．如图在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点．求证：平面EFG∥平面AB1C.1证明：设AB�＝a，AD�＝b，1AA�＝c，则EG�＝1ED�＋1DG�＝(a＋b)，AC�＝a＋b＝2EG�，∴EG�∥AC�，EF�＝1ED�＋1DF�＝b－c＝(b－c)，1BC�＝11BC�＋1CC�＝b－c＝2EF�，∴EF�∥1BC�.又∵EG与EF相交，AC与B1C相交，∴平面EFG∥平面AB1C.题组三空间向量数量积及应用5.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于()A．2BA�·AC�B．2AD�·BD�C．2FG�·CA�D．2EF�·CB�解析：〈AD�，BD�〉＝，∴2AD�·BD�＝2a2×cos＝a2.答案：B6．(2010·南昌模拟)二面角α－l－β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝α，BD＝2a，则CD的长为()A．2aB.aC．aD.a解析：∵AC⊥l，BD⊥l，∴〈AC�,BD�〉＝60°，且AC�·BA�＝0，AB�·BD�＝0，∴CD�＝CA�＋AB�＋BD�，∴|CD�|＝2()CAABBD�＝＝2a.答案：A7．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值．解：设AB�＝a，AD�＝b，1AA�＝c，则两两夹角为60°，且模均为1.(1)1AC�＝AC�＋1CC�＝AB�＋AD�＋1AA�＝a＋b＋c.2∴|1AC�|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝3＋6×1×1×＝6，∴|1AC�|＝，即AC1的长为.(2)1BD�＝BD�＋1DD�＝AD�－AB�＋1AA�＝b－a＋c.∴1BD�·AC�＝(b－a＋c)·(a＋b)＝a·b－a2＋a·c＋b2－a·b＋b·c＝1.|1BD�|＝＝，|AC�|＝＝，∴cos〈1BD�，AC�〉＝11BDACBDAC��＝＝.∴BD1与AC夹角的余弦值为.题组四空间向量及其运算的综合8.已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，O为原点，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE�⊥b?解：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝＝5.(2)假设存在一点E满足题意，即AE�＝tAB�(t≠0)．OE�＝OA�＋AE�＝OA�＋tAB�＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若OE�⊥b，则OE�·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此存在点E，使得OE�⊥b，此时点E的坐标为(－，－，)．9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，3AD＝DC＝3，AB＝2，E是DC上的点，且满足DE＝1，连结AE，将△DAE沿AE折起到△D1AE的位置，使得∠D1AB＝60°，设AC与BE的交点为O.(1)试用基向量AB�，AE�，1AD�表示向量1OD�；(2)求异面直线OD1与AE所成角的余弦值；(3)判断平面D1AE与平面ABCE是否垂直？并说明理由．解：(1)∵AB∥CE，AB＝CE＝2，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为BE的中点．3∴1OD�＝1AD�－AO�＝1AD�－(AB�＋AE�)＝1AD�－AB�－AE�.(2)设异面直线OD1与AE所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈1OD�，AE�〉|＝|11ODAEODAE��|，∵1OD�·AE�＝(1AD�－AB�－AE�)·AE�＝1AD�·AE�－AB�·AE�－|AE�|2＝1××cos45°－×2××cos45°－×()2＝－1，|1OD�|＝211()2ADAE�＝，∴cosθ＝|11ODAEODAE��|＝||＝.故异面直线OD1与AE所成角的余弦值为.(3)平面D1AE⊥平面ABCE.证明如下：取AE的中点M，则1DM�＝AM�－1AD�＝AE�－1AD�，∴1DM�·AE�＝(AE�－1AD�)·AE�＝|AE�|2－1AD�·AE�＝×()2－1××cos45°＝0.∴1DM�⊥AE�.∴D1M⊥AE.∵1DM�·AB�＝(AE�－1AD�)·AB�＝AE�·AB�－1AD�·AB�＝××2×cos45°－1×2×cos60°＝0，∴1DM�⊥AB�，∴D1M⊥AB.又AE∩AB＝A，AE、ABÜ平面ABCE，∴D1M⊥平面ABCE.∵D1MÜ平面D1AE，∴平面D1AE⊥平面ABCE.4