福建省德化三中高三数学数列求和与递推数学专题复习试题新人教A版考点要求：1．考查非等差、等比数列求和的几种常见方法．2．通过数列求和考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力．3．熟练掌握和应用等差、等比数列的前n项和公式．4．熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性．知识结构：数列求和的常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d；(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝2．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．常见的拆项公式①；②③；④5．拆项重组法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．6．求和的思路一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．基础自测1．等比数列{an}的公比q＝，a8＝1，则S8＝()．A．254B．255C．256D．257解析由a8＝1，q＝得a1＝27，∴S8＝＝＝28－1＝255.答案B…………公式法2．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()．A.＋B.＋C.＋D．n2＋n解析由题意设等差数列公差为d，则a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.又 a1，a3，a6成等比数列，∴a＝a1a6，即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0. d≠0，∴d＝，∴Sn＝na1＋d＝＋n.答案A13．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项的和为Sn，则数列的前10项的和为()．A．120B．70C．75D．100解析 Sn＝＝n(n＋2)，∴＝n＋2.∴数列前10项的和为：(1＋2＋…＋10)＋20＝75.答案C4．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝()．A.B.C.D.解析因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所以Sn＝＝.答案D5．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，S50＝________.解析S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25.答案－25例题选讲：1．公式法求和例1：已知数列{an}是首项a1＝4，公比q≠1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，－2a3成等差数列．(1)求公比q的值；(2)求Tn＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值．分析：求出公比，用等比数列求和公式直接求解．解(1)由题意得2a5＝4a1－2a3. {an}是等比数列且a1＝4，公比q≠1，∴2a1q4＝4a1－2a1q2，∴q4＋q2－2＝0，解得q2＝－2(舍去)或q2＝1，∴q＝－1.(2) a2，a4，a6，…，a2n是首项为a2＝4×(－1)＝－4，公比为q2＝1的等比数列，∴Tn＝na2＝－4n.小结：应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式．学生练习1：在等比数列{an}中，a3＝9，a6＝243，求数列{an}的通项公式an及前n项和公式Sn，并求a9和S8的值．解在等比数列{an}中，设首项为a1，公比为q，由a3＝9，a6＝243，得q3＝＝＝27，∴q＝3.由a1q2＝a3，得9a1＝9，∴a1＝1.于是，数列{an}的通项公式为an＝1×3n－1＝3n－1，前n项和公式为Sn＝＝.由此得a9＝39－1＝6561，S8＝＝3280.2．拆项重组法：例2：已知数列{xn}的xn＝2n＋n，求：数列{xn}前n项和Sn的公式．分析：分组后用等差、等比数列的求和公式求解．解：知xn＝2n＋n，所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n＋1－2＋.小结：对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合...
