福建省德化三中高三数学等比数列及其前n项和专题复习试题新人教A版考点要求：1．以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定．2．考查通项公式、前n项和公式以及性质的应用．3．紧扣等比数列的定义，掌握其通项公式和前n项和公式，求和时要注意验证公比q是否为1；对等比数列的性质应用要灵活，运算中要注意方程思想的应用．知识结构：1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.3．等比中项若G2＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(5)单调性：或⇔{an}是________数列；递增或⇔{an}是________数列；递减q＝1⇔{an}是__常__数列；q<0⇔{an}是__摆动______数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，（1）当q＝1时，Sn＝na1；（2）当q≠1时，Sn＝＝.6．错位相减法：利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝(q≠1)．7．等比数列的判断方法：(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．8．等差数列与等比数列的关系是：(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；(2)若{an}是等比数列，且an>0，则{lgan}构成等差数列．基础自测1．在等比数列{an}中，如果公比q＜1，那么等比数列{an}是()．A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定数列的增减性解析当a1＞0,0＜q＜1，数列{an}为递减数列，当q＜0，数列{an}为摆动数列．答案D2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于()．1A．－B．－2C．2D.解析由题意知：q3＝＝，∴q＝.答案D3．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于()．A．4B．8C．16D．32解析由等比数列的性质得：a2a6＝a＝16.答案C4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝()．A．－11B．－8C．5D．11解析设等比数列的首项为a1，公比为q.因为8a2＋a5＝0，所以8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，∴＝·＝＝＝－11.答案A5．(2011·广东)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.解析设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋d＝4×1＋d，所以d＝－.又ak＋a4＝0，所以＋]＝0，即k＝10.答案106．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝___240_____.例题选讲：1．等比数列基本量的计算例1：(2011·全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30.求an和Sn.分析：知三求二。列方程组求首项a1和公差d.解设{an}的公比为q，由题设得解得或当a1＝3，q＝2时，an＝3·2n－1，Sn＝3·(2n－1)；当a1＝2，q＝3时，an＝2·3n－1，Sn＝3n－1.小结：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．学生练习1：等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝，且公比q∈(0,1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．解(1) a3·a4＝a1·a6＝，又a1＋a6＝11，故a1，a6看作方程x2－11x＋＝0的两根，又q∈(0,1)∴a1＝，a6＝，∴q5＝＝，∴q＝，∴an＝·n－1＝·n－6.(2)由(1)知Sn＝＝21，解得n＝6.2．等...
