改容易面，巧闯难关VIP免费

改容易面巧闯难关———转化思想在解题中的应用罗田县育英高中胡阁我们在解决数学问题时，常把复杂、生疏、抽象、困难、未知的问题变成简单、熟悉、具体、容易、已知的问题来解决．这是一种思想方法，也是一种策略。它把一个数学问题转化为另一个数学问题，达到化生为熟，化繁为简的目的，不仅可以节省时间和精力，巧妙简捷地解题，还可以提高我们的思维水平，培养创新能力，及分析问题和解决问题的能力。下面我们来介绍几种基本的转化类型。一、等与不等的转化等与不等的转化主要体现为化不等为相等及化等为不等。在等与不等的矛盾转化中，基本不等式、函数的性质等常发挥着重要作用，它们是联系着等与不等的纽带，是等与不等矛盾差异间的内在联系。例1：若正数满足，则的取值范围是______________【解法一】为正数，，（舍去）或的取值范围为．【解法二】由得，且当且仅当，即时取等号则的范围为【点评】：将一个等式转化为一个不等式，是求变量取值范围的一个重要方法。巩固练习题：已知x，y同为非负数，且满足，求x，y的值。二、正与反的转化解决某些问题时，若按习惯从“正面进攻”难已解决或运算繁杂。此时可从相反的方向去探求，有可能会转化为我们较熟悉或简单的问题。例2：（2005年高考全国卷）在由数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的共有__________个。【分析】：以前我们做过能被5整除的排列组合题，先按照以前做过的方法求出能被5整除的数的个数，再求出所有的四位数的个数，就能求出符合条件的数的个数。解：有0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的所有四位数共有个，其中能被5整除的，即个位数为0，5的数有个，所以不能被5整除的数有600—216=384个。【点评】此题从正面入手也行，但把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，做起来更加得心应手。另外，在考试时用正反两种方法，可以提高准确率。巩固练习题：若曲线的所有弦都不能被直线垂直平分，求变量m的取值范围。三动与静的转化运动与静止的相互转化普遍存在于客观世界中，动与静的转化是解题的重要策略之一，它包括化静为动，化动为静两个方面，适时的进行动静转化，常常会收到奇妙的效果。例３：对于抛物线上任意一点Q，如果点P（a，0）满足，则a的取值范围是（）A（－BCD【分析】：依题意，点是抛物线上的动点，点P是轴上的定点，而当求a的取值范围时，又考虑点P的可动性，把a看成是不等式的未知量来求解。解：设Q，则等价于不等式，即，对于任意实数y恒成立，从而a只要小于或等于的最小值，所以a，选B【点评】：从代数角度来看，动与静的转化相当于变量与常量的转化。巩固练习题：过圆x的内部一点M作动弦AB，过A，B分别作圆的切线，求两切线的交点P的轨迹方程四主与次的转化利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即参变量与主元的角色转换），常使问题柳暗花明。例４：已知函数，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：若视为主元，为辅元，即可转化为。当时，恒成立，当时，是关于的一次函数，所以当时恒成立等价于即的取值范围为【点评】：此方法在解决原函数与反函数的问题时也很实用。巩固练习题：设不等式对满足的一切实数m均成立，求实数x的取值范围。五原命题与逆否命题的转化由于原命题与逆否命题等价，因此我们在判断原命题的真假有困难时，可以通过判断逆否命题达到目的。例5：已知函数是R上的增函数，a，bR，若，则a+b0，试判断该命题的真假。【分析】：直接判断原命题的真假难以入手，若改为判断逆否命题，就比较方便。解：原命题的逆否命题是：已知函数是R上的增函数，若a+b0，，则。判断：函数是是R上的增函数，且a，bR，a+b0，即a，该命题是真命题，原命题也是真命题。巩固练习题：“x”是“sinxx”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件以上是化归思想中的几种主要的转化途径。其实，化归的途径很多，如还有数与形的转化，空间与平面的转化，无限与有限的转化等等。转化的目的是改容易面，化繁为简，巧闯难关。高考中正确灵活的运用化归思想，找到化归途径，使用化归手段，定会取得事半功倍的效果。