恩城中学高三数学中段考试参考答案（理科）一、选择题(每小题5分，共50分)题号12345678答案CBBCCABD二、填空题(每小题5分，共20分)9．210、11、π12、13、14、1：615、三、解答题(共80分，16、17题12分，18-21题每小题14分)16、（本小题满分12分）设函数（Ⅰ）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若，求函数的最大值与最小值．解：（Ⅰ）∵……………………………2分∴函数的最小正周期……………………………4分…………………………6分（Ⅱ）∵，∴……………………………7分∴∴……………………………8分∴当时，即时……………………………10分用心爱心专心当时，即时……………………………12分17、（本小题满分12分）在递增等差数列中，已知，且、、成等比数列，．(I)求数列的公差；(Ⅱ)设数列的前项和为，求的最值．解：(I)、、成等比数列………………………………2分………………………………4分整理得：，解得或………………………………5分又递增………………………………6分(Ⅱ)由，得………………………………8分令得：，且………………………………11分所以前6项或者前7项的和最小，无最大值………………………………12分18、（本小题满分13分）在△ABC中，已知．(1)求AB边的长度；(2)证明：；（3）若,求．解：（1）∵∴∵∴,即AB边的长度为----------------4分用心爱心专心CBA(2)由得--------------------①即--------------------②-----6分由①②得,由正弦定理得∴∴-----------------------------------------------9分(3)∵，由（2）中①得由余弦定理得=∴=--------------------------------------------------------------------------14分19、（本题满分14分）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润（单位：万元）。为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中。记第个月的利润率为，例如。（1）求；（2）求第个月的当月利润率；（3）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率。解：解：（1）依题意得（2）当时，。当时，也符合上式。故当时，。当时，用心爱心专心所以第个月的当月利润率为。（3）当时，是减函数，此时的最大值为。当时，当且仅当，即时，有最大值。又，当时有最大值。即该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，其当月利润率为。20．（本题满分14分）已知数列的首项，前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，为数列的前项和，求证：．解：（Ⅰ）由，，①∴，②①－②得：，即，4分用心爱心专心∵，∴。8分（Ⅱ）∵，∴，10分∴．故14分21、（本小题满分14分）已知函数在处取得极值。（1）求函数的解析式；（2）求证：对于区间上任意两个自变量的值，都有；（3）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围。解：（1），依题意，，1分即，解得3分用心爱心专心（2）当时，，故在区间上为减函数，∵对于区间上任意两个自变量的值，都有7分（3），∵曲线方程为，∴点不在曲线上，设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足。因，故切线的斜率为，整理得。∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线，∴关于的方程有三个实根。9分设，则，由，得或在上单调递增，在（0,1）上单调递减。∴函数的极值点为，11分用心爱心专心∴关于方程有三个实根的充要条件是，解得故所求的实数a的取值范围是14分用心爱心专心
