专题6.3数列的综合问题【三年高考】1.【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，（）.若（）A．是等差数列B．是等差数列C．是等差数列D．是等差数列【答案】A和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．2.【2016高考新课标2理数】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前1000项和．【解析】（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（Ⅱ）因为所以数列的前项和为3.【2016高考新课标3理数】已知数列的前n项和，其中．（I）证明是等比数列，并求其通项公式；（II）若，求．4.【2016高考浙江理数】设数列满足，．（I）证明：，；（II）若，，证明：，．5.【2016年高考四川理数】已知数列{}的首项为1，为数列的前n项和，，其中q>0，.（Ⅰ）若成等差数列，求的通项公式；（Ⅱ）设双曲线的离心率为，且，证明：.【解析】（Ⅰ）由已知，两式相减得到.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.由成等比数列，可得，即，则，由已知,，故.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.所以双曲线的离心率．由解得.因为，所以.于是，故.6.【2015高考福建，理8】若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（）A．6B．7C．8D．9【答案】D7.【2015高考浙江，理20】已知数列满足=且=-（）（1）证明：1（）；（2）设数列的前项和为，证明（）.【解析】（1）由题意得，，即，，由，得，由得，，即；（2）由题意得，∴①，由和得，，∴，因此②，由①②得.8.【2015高考安徽，理18】设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，证明.9.【2015高考陕西，理21】设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．（I）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明．【解析】（I），则所以在内至少存在一个零点.又，故在内单调递增，所以在内有且仅有一个零点.因为是的零点，所以，即，故.解法二由题设，当时,当时,用数学归纳法可以证明.当时,所以成立.假设时，不等式成立，即.那么，当时，.又，令，则，所以当,,在上递减；当,,在上递增.所以，从而，故.即，不等式也成立.所以，对于一切的整数，都有.解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，，所以,令当时,,所以.当时,，而，所以，.若，，，当，，，从而在上递减，在上递增.所以，所以当又，，故，综上所述，当时，；当时.10．【2014高考大纲理第18题】等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.（I）求的通项公式；（II）设，求数列的前n项和.11．【2014高考湖北理第18题】已知等差数列满足：，且、、成等比数列.（1）求数列的通项公式.（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.【解析】（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，所以，解得或，当时，；当时，，所以数列的通项公式为或.（2）当时，，显然，不存在正整数，使得.当时，，令，即，解得或（舍去）此时存在正整数，使得成立，的最小值为41.综上所述，当时，不存在正整数；当时，存在正整数，使得成立，的最小值为41.12．【2014高考重庆理科第22题】设（Ⅰ）若，求及数列的通项公式；（Ⅱ）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.（Ⅱ）解法一：设，则.令，即，解得.下用数学归纳法证明加强命：当时，，所以，结论成立.假设时结论成立，即，易知在上为减函数，从而，即，再由在上为减函数得.故，因此，这就是说，当时结论成立.综上，符合条件的存在，其中一个值为.解法二：设，则，先证：……①当时，结论明显成立.假设时结论成立，即，易知在上为减函数，从而，即这就是说，当时结论成立，故①成立.再证：………………………………②【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,等差数列与等比数列的综合，数列与应用问题的结合，数列与函数、方程、不等...
