平面向量0825.如图5—9所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos，求四面体ABCD的体积.图5—9图5—10图5—11解：如图5—21建立空间直角坐标系由题意，有A（0，2，0）、C（2，0，0）、E（1，1，0）设D点的坐标为（0，0，z）（z>0）则={1，1，0}，={0，－2，z}，设与所成角为θ.则·=·cosθ=－2，且AD与BE所成的角的大小为arccos.∴cos2θ=，∴z=4，故|BD|的长度为4.图5—21又VA—BCD=|AB|×|BC|×|BD|=，因此，四面体ABCD的体积为.评述：本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算.以向量为工具，利用空间向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题，思路自然，解法灵活简便.26.如图5—10所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos<>的值；（3）求证：A1B⊥C1M.（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.28.如图5—12，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角.（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；图5—12（2）求异面直线AE与CD所成角的大小.于是，={－a，a，0}设与的夹角为θ，则由cosθ=∴θ=arccos，即AE与CD所成角的大小为arccos.评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段.29.如图5—13在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.（1）求向量的坐标；（2）设向量和的夹角为θ，求cosθ的值.解：（1）过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=，∴DE=CD·sin30°=.图5—13OE=OB－BE=OB－BD·cos60°=1－.∴D点坐标为（0，－），即向量ODTX→]的坐标为{0，－}.
